(問題)
\(0°≦θ≦180°\) の\(θ\)に対し関係式 \(\cosθ-\sinθ=\displaystyle\frac{1}{2}\) が成り立つとき、\(\sinθ\)の値を求めよ。
与えられた条件式と \(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) を連立します。\(\sinθ\)の値のとりうる範囲に注意です。
(解答)
\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) に \(\cosθ=\sinθ+\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入して
\(\sin^2θ+(\sinθ+\displaystyle\frac{1}{2}) ^2=1\)
整理して
\(8\sin^2θ+4\sinθ-3=0\)・・・①
\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) に \(\cosθ=\sinθ+\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入して
\(\sin^2θ+(\sinθ+\displaystyle\frac{1}{2}) ^2=1\)
整理して
\(8\sin^2θ+4\sinθ-3=0\)・・・①
①を解の公式を利用して解くと
\(\sinθ=\displaystyle\frac{-2±2\sqrt{7}}{8}=\displaystyle\frac{-1±\sqrt{7}}{4}\)
\(\sinθ=\displaystyle\frac{-2±2\sqrt{7}}{8}=\displaystyle\frac{-1±\sqrt{7}}{4}\)
\(0°≦θ≦180°\)から \(0≦\sinθ≦1\) であり
\(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{7}}{4}\)は 負の数より不適
\(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{7}}{4}\)は 負の数より不適
また、\(2<\sqrt{7}<3\)より
\(\displaystyle\frac{1}{4}<\displaystyle\frac{-1+\sqrt{7}}{4}<\displaystyle\frac{1}{2}\) だから \(0≦\sinθ≦1\)を満たす。
\(\displaystyle\frac{1}{4}<\displaystyle\frac{-1+\sqrt{7}}{4}<\displaystyle\frac{1}{2}\) だから \(0≦\sinθ≦1\)を満たす。
以上から、\(\sinθ=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\)
以上です。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。