積和・和積の公式 | 教えて数学理科

三角関数の積和・和積の公式の導き方について見ていきます。

・積和・和積の公式
\(\sin\)と\(\cos\)の加法定理4つの式から積和・和積の公式を導くことができます。

まずは積和の公式から始めます。

\(\sin\)の加法定理から

\(\sin(α+β)\)\(=\sinα\cosβ\)\(+\cosα\sinβ\)・・・①
\(\sin(α-β)\)\(=\sinα\cosβ\)\(-\cosα\sinβ\)・・・②

①+②より
\(\sin(α+β)+\sin(α-β)\)\(=2\sinα\cosβ\)・・・(X)

等式(X)は、左辺が和の形、右辺が積の形です。これが和積・積和の公式の肝です。右辺から左辺に変換すると「積→和」となり、左辺から右辺に変換すると「和→積」となります。

(X)より
\(\sinα\cosβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\sin(α+β)\)\(+\sin(α-β)\}\)・・・(1)

また①－②より同様に
\(\cosα\sinβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\sin(α+β)\)\(-\sin(α-β)\}\)・・・(2)

次に\(\cos\)の加法定理より

\(\cos(α+β)\)\(=\cosα\cosβ\)\(-\sinα\sinβ\)・・・③
\(\cos(α-β)\)\(=\cosα\cosβ\)\(+\sinα\sinβ\)・・・④

③+④から
\(\cos(α+β)+\cos(α-β)\)\(=2\cosα\cosβ\)
よって
\(\cosα\cosβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\cos(α+β)\)\(+\cos(α-β)\}\)・・・(3)

③－④から同様に
\(\sinα\sinβ\)\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\{\cos(α+β)\)\(-\cos(α-β)\}\)・・・(4)

・積和の公式
\(\sinα\cosβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\sin(α+β)\)\(+\sin(α-β)\}\)・・・(1)
\(\cosα\sinβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\sin(α+β)\)\(-\sin(α-β)\}\)・・・(2)
\(\cosα\cosβ\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\cos(α+β)\)\(+\cos(α-β)\}\)・・・(3)
\(\sinα\sinβ\)\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\{\cos(α+β)\)\(-\cos(α-β)\}\)・・・(4)

覚えるのではなく導けるようにしたほうがよいです。(もちろん覚えれる方は覚えてしまってもよいです)
導き方のコツは、\(\sin\),\(\cos\)と異なる種類の積のときは、異なる種類の積が出てくる\(\sin\)の加法定理を((1)(2))、\(\sin\)同士、\(\cos\)同士の同じ種類の積のときは、同じ種類の積が出てくる\(\cos\)の加法定理を使うことです((3)(4))。

続いて和積の公式です。

今導いた積和の公式(1)~(4)の「右辺→左辺」が和積の公式となりますが、\(\sin\)と\(\cos\)の中身が \(α+β\), \(α-β\) の形になっていて不便なので、\(α+β=A\), \(α-β=B\) とおいて中身の文字を簡単にします。

積和の公式(1)～(4)より
\(\sin(α+β)\)\(+\sin(α-β)\)\(=2\sinα\cosβ\)・・・(1′)
\(\sin(α+β)\)\(-\sin(α-β)\)\(=2\cosα\sinβ\)・・・(2′)
\(\cos(α+β)\)\(+\cos(α-β)\)\(=2\cosα\cosβ\)・・・(3′)
\(\cos(α+β)\)\(-\cos(α-β)\)\(=-2\sinα\sinβ\)・・・(4′)

ここで \(α+β=A\)・・・⑤, \(α-β=B\)・・・⑥ とおく。

右辺の\(α,β\)のところも\(A,B\)で表すために、⑤⑥から連立方程式を解く要領で\(α,β\)を\(A,B\)で表します。

⑤+⑥より
\(2α=A+B\) だから \(α=\displaystyle\frac{A+B}{2}\)・・・⑦
⑤ー⑥より
\(2β=A-B\) だから \(β=\displaystyle\frac{A-B}{2}\)・・・⑧

⑤～⑧を (1′)～(4′)に代入して
\(\sin A\)\(+\sin B\)\(=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\sin A\)\(-\sin B\)\(=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A\)\(+\cos B\)\(=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A\)\(-\cos B\)\(=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

・和積の公式
\(\sin A\)\(+\sin B\)\(=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\sin A\)\(-\sin B\)\(=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A\)\(+\cos B\)\(=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(\cos A\)\(-\cos B\)\(=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\)\(\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

和積の公式は、左辺が同じ種類の三角関数の和や差になっています。

(例題)次の式の値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\frac{1}{(\cos20°)(\cos40°)(\cos80°)}\)

(2)\(\cos\displaystyle\frac{π}{18}+\cos\displaystyle\frac{11}{18}π\)\(+\cos\displaystyle\frac{23}{18}π\)

(1)(2)ともに個々の三角関数の値は分かりませんが、積和・和積を使い角の和や差をとることで変形していきます。

(解答)
(1)
(分母)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\cos60°+\cos(-20°)\}\)\(・\cos80°\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{2}+\cos20°)\)\(・\cos80°\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos80°\)\(+\displaystyle\frac{1}{2}\cos80°\cos20°\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos80°\)\(+\displaystyle\frac{1}{2}・\)\(\displaystyle\frac{1}{2}(\cos100°\)\(+\cos60°)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos80°+\displaystyle\frac{1}{4}\cos100°\)\(+\displaystyle\frac{1}{4}\cos60°\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos80°+\displaystyle\frac{1}{4}(-\cos80°)\)\(+\displaystyle\frac{1}{8}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{8}\)

よって
\(\displaystyle\frac{1}{(\cos20°)(\cos40°)(\cos80°)}\)\(=8\)

(2)
\(\cos\displaystyle\frac{π}{18}+\cos\displaystyle\frac{11}{18}π\)\(+\cos\displaystyle\frac{23}{18}π\)

\(=2\cos(\displaystyle\frac{6}{18}π)\cos(-\displaystyle\frac{5}{18}π)\)\(+\cos\displaystyle\frac{23}{18}π\)

\(=2・(\displaystyle\frac{1}{2})・\cos\displaystyle\frac{5}{18}π\)\(+\cos\displaystyle\frac{23}{18}π\)

\(=\cos\displaystyle\frac{5}{18}π\)\(+\cos(π+\displaystyle\frac{5}{18}π)\)

\(=\cos\displaystyle\frac{5}{18}π\)\(-\cos\displaystyle\frac{5}{18}π\)

\(=\)\(0\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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