素数と因数分解

まず、与えられた式が因数分解できるかどうか確かめます。
すると、\(n^2-20n+91\)\(=(n-7)(n-13)\) と因数分解できます。
これが素数となるので、素数 \(p(≧2)\) は2つの数の積の形で表すと、\(p×1\)か、\((-p)×(-1)\) の場合しかないので、ここから\(n\)の値を絞ります。

素数は自然数です。(定義)

\(q^2-p^2=(q-p)(q+p)\) と因数分解できるのはよいでしょう。
ここから値を絞っていくのですが、まず \(q-p\) と \(q+p\) の大小に着目します。すると、\(q+p\) のほうが大きいことと、\(q+p\)は素数の和なので正の数。よって、
\(q+p=r\)・・・①,　\(q-p=1\)・・・②
という等式が得られます。次に②に着目すると、素数\(q\)と素数\(p\)の差が\(1\)(奇数)であることがわかります。差が奇数ということは、一方が偶数で、一方が奇数となります。(偶数ー偶数=偶数 , 奇数ー奇数=偶数)
偶数である素数は\(2\)しかないですね。よって小さいほうの\(p\)が\(2\)となります。以下①②で\(q,r\)が求まります。

一方が偶数で、一方が奇数となることを偶奇が一致しない、
両方とも偶数 or 両方とも偶数 となることを偶奇が一致するといいます。
偶奇の一致、不一致は整数問題では重要な手がかりとなります。
もちろん、素数の中で唯一偶数である\(2\) (さらに素数の中で最小の数でもある)も大事なポイントです。