2次式の不定方程式は、判別式を利用すると解の範囲が絞られることがあります。
(例題1)
\(x^2+4y^2-2x-4y-23=0\) を満たす整数\(x,y\)の値を求めよ。
そこで、\(x\)の2次式であることに着目します。
等式が整数解\(x\)をもつ、つまり少なくとも実数解\(x\)をもつことになるので、判別式が0以上であることから範囲を絞ります。
(解答)
与式を\(x\)について整理すると
\(x^2-2x+4y^2-4y-23=0\)
これを\(x\)の2次方程式とみると、解の公式から
\(x=1±\sqrt{1^2-(4y^2-4y-23)}\)・・・①
\(x\)は実数なので
\(1-(4y^2-4y-23)≧0\)
\(4y^2-4y-24≦0\)
\(y^2-y-6≦0\)
\((y+2)(y-3)≦0\)より
\(-2≦y≦3\)・・・②
また①は
\(=1±\sqrt{-4y^2+4y+24}\)
\(=1±2\sqrt{-(y+2)(y-3)}\)
となるので、②の範囲で\(x\)を求めると
\(y=-2\) のとき \(x=1\)
\(y=-1\) のとき \(x=1±2\sqrt{4}=5,-3\)
\(y=0\) のとき \(x=1±2\sqrt{6}\) より不適
\(y=1\) のとき \(x=1±2\sqrt{6}\) より不適
\(y=2\) のとき \(x=1±2\sqrt{4}=5,-3\)
\(y=3\) のとき \(x=1\)
以上より
\((x,y)=(1,-2),(5,-1)\)\(,(-3,-1),(5,2)\)\(,(-3,2),(1,3)\)
(例題2)
\(x\)についての2次方程式 \(x^2+kx+k^2+3k-9=0\)・・・(A) について
(1)(A)が異なる2つの整数解をもつとき、\(k\)は整数であることを示せ。
(2)(A)が異なる2つの整数解をもつような、実数\(k\)の値を求めよ。
(解答)
(1)
\(x\)について解くと
\(x=\displaystyle\frac{-k±\sqrt{k^2-4(k^2+3k-9)}}{2}\)・・・①
ここで、2解を\(α,β\) とおくと
\(α+β=-k\) だから
2解が整数のとき、\(k\)は整数である。
(2)
\(x\)は実数で、2解は異なるので
\(k^2-4(k^2+3k-9)>0\)
\(3k^2+12k-36<0\)
\(k^2+4k-12<0\)
\((k-2)(k+6)<0\) より
\(-6<k<2\)・・・②
また①より
\(x=\displaystyle\frac{-k±\sqrt{-3(k-2)(k+6)}}{2}\)
だから、②の範囲で\(x\)が整数であるものを調べる。平方根内が(整数)\(^2\)となるので
\(k=-5\): 不適
\(k=-4\): \(x=\displaystyle\frac{4±\sqrt{36}}{2}\)\(=5,-1\) となり適する。
\(k=-3,-2,-1\): 不適
\(k=0\): \(x=\displaystyle\frac{0±\sqrt{36}}{2}\)\(=3,-3\) となり適する。
\(k=1\): 不適
以上より、\(k=-4,0\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。