1次不定方程式 | 教えて数学理科

今回から1次不定方程式について学んでいきます。
まずは簡単な例から始めます。

(例)
\(2x=5y\)・・・① を満たす整数解\((x,y)\)を求めよ。

具体的に色々\(x,y\)を代入して等式を満たす組を考えてみると、
\((x,y)=(0,0),(5,2)\)\(,(-10,-4)・・・\)

などと、無数にあることが予想できます。

実際に解くと、\(k\)を整数として、
①の右辺が\(5\)の倍数だから、左辺も\(5\)の倍数であり、\(2\)と\(5\)が互いに素であるから
\(x=5k\)・・・② と表すことができます。

②を①に代入して\(y\)について解くと
\(5y=10k\) より
\(y=2k\) となるので

\(x=5k,y=2k\) (\(k\)は整数)

が解となります。

\(k\)は任意の整数なので、解が無数にあることが分かります。

この例 \(2x=5y\) のような、1次式(\(x,y\)どちらも1次)で表された方程式を1次不定方程式といいます。

文字2つに式1つなので、一般的には解が無数にあります(不定)。

1次不定方程式 \(ax+by=c\) \(a≠0,b≠0\)　(\(a,b,c\)は定数)
についても、解は無数にありますが、整数解という条件を加えると、解をもつ場合やもたない場合があります。以下検討してみます。

以下\(a≠0,b≠0\)とします。

・\(ax+by=c\)の整数解 (\(a,b\)が互いに素である場合)

変数\(x,y\)の2文字の1次不定方程式

\(ax+by=c\) 　(\(a,b\)は互いに素)

の整数解について考えていきます。まず次の定理が成り立ちます。(証明は →(4-5)ax+by=1 の解の存在条件参照)

\(a,b\)が互いに素であるとき、
\(am+bn=1\) を満たす整数\(m,n\)が存在する。

この定理から、

\(am+bn=1\)の両辺を\(c\)倍して
\(a(cm)+b(cn)=c\)

よって、
\(ax+by=c\) は、整数解 \(x=cm\), \(y=cn\) をもつことになります。

\(a,b\)が互いに素であるとき、
\(ax+by=c\) を満たす整数\(x,y\)が存在する。

では実際に方程式をどう解くかというと

(1)\(ax+by=c\)・・・(ア) を満たす整数解\(x=p\),\(y=q\)を見つける。(特殊解の発見)
(2)\(ap+bq=c\)・・・(イ) が成り立つので、(ア)ー(イ)より定数\(c\)を消去する
(3)あとは、\(2x=5y\) を解くときと同じ要領で解く。

という方法になります。
実際にやってみます。

(例題1)
方程式 \(3x+5y=2\) の整数解をすべて求めよ。

(解答)
\(x=-1\), \(y=1\) は方程式の解であるので

\(3x+5y=2\)・・・①
\(3(-1)+5・1=2\)・・・②

①－②より
\(3(x+1)+5(y-1)=0\)
よって \(3(x+1)=-5(y-1)\)・・・③

③の右辺は\(5\)の倍数だから、左辺も\(5\)の倍数。\(3,5\)は互いに素だから
\(x+1=5k\)・・・④ (\(k\)は整数)
④を③に代入して
\(-5(y-1)=15k\) より
\(y-1=-3k\)・・・⑤

したがって④⑤から
\(x=5k-1\), \(y=-3k+1\) (\(k\)は整数)

特殊解が見つけにくい場合は、次回 →(4-4)ユークリッドの互除法と1次不定方程式で紹介する方法を使います。

・\(ax+by=c\)の整数解 (\(a,b\)が互いに素でない場合)

\(a,b\)の最大公約数を\(g\)とします。
\(a=a’g\), \(b=b’g\) (\(a’,b’\)は互いに素)と表せるので

方程式 \(ax+by=c\) は
\(a’gx+b’gy=c\)
\(g(a’x+b’y)=c\)・・・(※)　となる。

ここで
(i)\(g\)が\(c\)の約数でない場合(\(c\)が\(g\)の倍数でない場合)
左辺は\(g\)の倍数、右辺は\(g\)の倍数でないので、方程式を満たす整数解は存在しません。

(ii)\(g\)が\(c\)の約数である場合(\(c\)が\(g\)の倍数である場合)
\(c=c’g\) と表せるので (※)は
\(g(a’x+b’y)=c’g\)
\(a’x+b’y=c’\) となり、係数が互いに素である場合に帰着できます。

(例題2)
方程式\(6x+3y=7\) を満たす整数解は存在しないことを示せ。

(解答)
方程式を満たす整数解 \(x=m\), \(y=n\)が存在すると仮定する。
\(3(2m+n)=7\) であり、
左辺は\(3\)の倍数、右辺は\(3\)の倍数でないため矛盾。
よって整数解は存在しない。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。