不定方程式因数分解型① | 教えて数学理科

文字式が因数分解できる不定方程式について学んでいきます。

・因数分解型の不定方程式
次の例を見ていきます。

(例1)
\(x,y\)を実数とする。
\(xy=0\) を満たす\(x,y\)を求めよ。

2次方程式、\((x-1)(x-2)=0\) を解く要領と同じように考えて、
解は \(x=0\) または \(y=0\) となり、限定されます。

では次の例はどうでしょうか。

(例2)
\(x,y\)を実数とする。
\(xy=5\) を満たす\(x,y\)を求めよ。

掛けて\(5\)になる2つの実数は
\((x,y)=(1,5),(\sqrt5,\sqrt5)\)\(,(2,\displaystyle\frac{5}{2}),(-25,-\displaystyle\frac{1}{5})・・・\)
など、山ほどあります。

では、\(x,y\)に整数という制限がつくとどうでしょうか。

(例3)
\(x,y\)を整数とする。
\(xy=5\) を満たす\(x,y\)を求めよ。

掛けて\(5\)になる整数はかなり限られます。具体的にあげると
\((x,y)=\)\((1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)\)
と限定されます。

このように文字に整数という条件がある場合、例1のように因数分解して
(積の形)=0
とならなくても、
(積の形)=整数

と変形できる場合には、解を求めることができます。

(例題1)
次の等式を満たす整数\(x,y\)の値を求めよ。
(1)\(xy-x-2y+4=0\)
(2)\(2xy-x-2y-1=0\)
(3)\(\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{3}{y}=1\)

(解答)
(1)

\((x+□)(y+△)\) と因数分解を試みます。
\(x,y\)の係数に着目して、\(□=-2\), \(△=-1\) となります。
あとは、余分な□×△の値を、除いて調整します。

\((x-2)(y-1)-2+4=0\) だから
\((x-2)(y-1)=-2\)

\(x-2,y-1\) は整数なので

\((x-2,y-1)=(-1,2)\)\(,(2,-1),(1,-2),(-2,1)\)

よって
\((x,y)=(1,3),(4,0),(3,-1),(0,2)\)

(2)

そのまま因数分解してもよいですが、\(xy\)の係数を\(1\)にして(1)と同様に解いてみます。

与式の両辺を\(2\)で割って

\(xy-\displaystyle\frac{1}{2}x-y-\displaystyle\frac{1}{2}=0\)

\((x-1)(y-\displaystyle\frac{1}{2})-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}=0\)

\((x-1)(y-\displaystyle\frac{1}{2})=1\)

両辺\(2\)倍して
\((x-1)(2y-1)=2\)

\(x-1,2y-1\) は整数なので
\((x-1,2y-1)=(1,2)\)\(,(2,1),(-1,-2),(-2,-1)\)

よって
\((x,y)=(2,\displaystyle\frac{3}{2})\)\(,(3,1),(0,-\displaystyle\frac{1}{2}),(-1,0)\)

このうち\(x,y\)が整数となるものは

\((x,y)=(3,1),(-1,0)\)

(3)

分母をはらえば、(1)(2)と同様に解くことができます。
ただし\(x≠0,y≠0\) に注意してください。

両辺に\(xy(≠)0\) を掛けて

\(2y+3x=xy\)

\(xy-3x-2y=0\)
\((x-2)(y-3)-6=0\)
\((x-2)(y-3)=6\)

\(x-2,y-3\) は整数なので

\((x-2,y-3)=(±1,±6),\)\((±2,±3),(±3,±2),(±6,±1)\)　(複号同順)

このうち\(x=0,y=0\) となるものを除くと

\((x,y)=(3,9),(1,-3),(4,6)\)\(,(5,5),(-1,1),(8,4),(-4,2)\)

なお、(1)～(3)には次のような別解が存在します。
こちらも大事になのでおさえておきましょう。
方針は、\(x=(y\)の式) (または \(y=(x\)の式) )と変形して分数の形にすることです。
(1)だけやってみますが、(2)(3)も全く同じように解けます。

((1)の別解)

\(x(y-1)=2y-4\)
\(y=1\) を代入すると、等式が成り立たないので、\(y≠1\)
よって
\(x=\displaystyle\frac{2y-4}{y-1}\)・・・①

①の分数式は、分母と分子の次数が同じです。
分子の次数を下げるために、帯分数の形にします。(または分子を分母で割る(整式の除法数Ⅱ))
このように分母の次数よりも分子の次数が大きいまたは同じである場合は、分子の次数を下げることが有効なことが多いです。

\(x=\displaystyle\frac{2(y-1)-(-2)-4}{y-1}\)
\(x=\displaystyle\frac{2(y-1)-2}{y-1}\) より
\(x=2-\displaystyle\frac{2}{y-1}\)・・・②

\(x\)は整数なので、\(\displaystyle\frac{2}{y-1}\) も整数。
\(y-1\) は整数だから \(\displaystyle\frac{2}{y-1}\) が整数となるには
\(y-1=±1,±2\)
よって、\(y=2,0,3,-1\)
このとき②より
\(x=0,4,1,3\)

よって
\((x,y)=(0,2),(4,0),(1,3),(3,-1)\)

(例題2)
\(x,y\)を整数とするとき
(1)\(x^2-6xy+8y^2+3=0\) を満たす\(x,y\)の値を求めよ。
(2)\(4x^2-8xy-16x+3y^2+22y-5=0\) を満たす\(x,y\)の値を求めよ。

(解答)
(1)

(例題1)と同様に因数分解を試します。

与式より

\((x-4y)(x-2y)=-3\)

\(x-4y,x-2y\) は整数なので
\((x-4y,x-2y)=(-1,3)\)\(,(-3,1),(1,-3),(3,-1)\)・・・①

ここで、\(x-4y=a\), \(x-2y=b\) として\(x,y\)について解くと
\(x=2b-a\),\(y=\displaystyle\frac{b-a}{2}\)

よって、\(a,b\)が①の場合を考えると

\((x,y)=(7,2),(5,2),(-7,-2),(-5,-2)\)

(2)

2次の項に着目すると
\(4x^2-8xy+3y^2=(2x-y)(2x-3y)\)
と因数分解できます。与式には\(x,y\)の項もあるので
\((2x-y+a)(2x-3y+b)\) と因数分解できるとして、この式を展開して、与式と比べます。(数Ⅱ 恒等式の考え方)

\((2x-y+a)(2x-3y+b)\)
\(=4x^2-8xy+3y^2\)\(+(2a+2b)x+(-3a-b)y+ab\) より

\(2a+2b=-16\), \(-3a-b=22\) を解くと
\(a=-7\), \(b=-1\) より

\((2x-y-7)(2x-3y-1)\)
\(=4x^2-8xy+3y^2\)\(-16x+22y+7\)

よって
\(4x^2-8xy+3y^2\)\(-16x+22y+7-7-5=0\) より
\((2x-y-7)(2x-3y-1)=12\)・・・②

②より、掛けて\(12\)になるものをすべて考えてもよいですが、計算量を少なくするため少し工夫します。
工夫には、左辺の2つの数の偶奇の着目や、大小関係の着目などがあります。
ひとまず、この両方を調べるために、\(2x-y-7\)と\(2x-3y-1\)の差をとります。差が偶数なら偶奇は一致して、奇数なら偶奇は一致していないことにります。

ここで

\((2x-y-7)-(2x-3y-1)\)
\(=2y-6=2(y-3)\)・・・③

よって、\(2x-y-7\)と\(2x-3y-1\)の偶奇は一致し、②の右辺が偶数だから、
\(2x-y-7\)と\(2x-3y-1\)はともに偶数となる。

ゆえに
\((2x-y-7,2x-3y-1)=(6,2),(2,6),(-6,-2),(-2,-6)\)

③より差が \(2y-6\) なので
それぞれ、\(2y-6=4,-4,-4,4\) となり
\(y=5,1,1,5\)
このとき、\(2x-y-7=p\) とすると
\(x=\displaystyle\frac{y+7+p}{2}\) なので
それぞれ、\(x=9,5,1,5\) となる。

したがって

\((x,y)=(9,5),(5,1),(1,1),(5,5)\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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