定積分の計算の演習です。
(例題1)次の定積分の値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int_{-2}^{1}(x+1)(x-3)dx\)
(2)\(\displaystyle\int_0^2(3x-1)^2dx\)
(3)\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x^2-2x+k)dx\) (\(k\)は定数とする)
(4)\(\displaystyle\int_0^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}(x^2+x-1)dx\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\int_{-2}^{1}(x+1)(x-3)dx\)
\(=\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2-2x-3)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-x^2-3x\right]_{-2}^{1}\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{3}-1-3)-(-\displaystyle\frac{8}{3}-4+6)\)
\(=-3\)
(2)
係数\(3\)の逆数を掛けることを忘れずに。
\(\displaystyle\int_0^2(3x-1)^2dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{3}(3x-1)^3\right]_{0}^2\)
\(=(\displaystyle\frac{5^3}{9})-(-\displaystyle\frac{1}{9})\)
\(=14\)
(3)
(奇関数,偶関数の積分を利用すると早いですが今回は普通に計算します)
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x^2-2x+k)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{2}{3}x^3-x^2+kx\right]_{-1}^{1}\)
\(=(\displaystyle\frac{2}{3}-1+k)-(-\displaystyle\frac{2}{3}-1-k)\)
\(=\displaystyle\frac{4}{3}+2k\)
(4)
\(α=\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) とおいて
\(\displaystyle\int_0^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}(x^2+x-1)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x\right]_{0}^{α}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}α^3+\displaystyle\frac{1}{2}α^2-α\)
\(α^2+α-1=0\)
よってこの式から、次数下げ or 割り算 の方法で計算します。解答では次数下げでやりたいと思います。
ここで
\(2α+1=\sqrt{5}\) より2乗して整理すると
\(α^2=-α+1\)
よって
\(\displaystyle\frac{1}{3}α^3+\displaystyle\frac{1}{2}α^2-α\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}α(-α+1)+\displaystyle\frac{1}{2}α^2-α\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}α^2-\displaystyle\frac{2}{3}α\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}(-α+1)-\displaystyle\frac{2}{3}α\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}(-5α+1)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}(-5\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1)\)
\(=\displaystyle\frac{7-5\sqrt{5}}{12}\)
(例題2)次の定積分の値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int_3^{3}(3x^3-2x^2+1)dx\)
(2)\(\displaystyle\int_2^{-1}(x^2-2x+3)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-3}(x^2-2x+3)dx\)
(3)\(\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3+11x^2+3x+7)dx+\displaystyle\int_{1}^{-2}(x^3+2x^2-5x-3)dx\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\int_3^{3}(3x^3-2x^2+1)dx\)
\(=0\)
(2)
\(\displaystyle\int_2^{-1}(x^2-2x+3)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-3}(x^2-2x+3)dx\)
\(=\displaystyle\int_2^{-3}(x^2-2x+3)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-x^2+3x\right]_2^{-3}\)
\(=(-9-9-9)-(\displaystyle\frac{8}{3}-4+6)\)
\(=-\displaystyle\frac{95}{3}\)
(3)
\(\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3+11x^2+3x+7)dx+\displaystyle\int_{1}^{-2}(x^3+2x^2-5x-3)dx\)
\(=\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3+11x^2+3x+7)dx-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3+2x^2-5x-3)dx\)
\(=\displaystyle\int_{-2}^{1}(9x^2+8x+10)dx\)
\(=\left[3x^3+4x^2+10x\right]_{-2}^{1}\)
\(=(3+4+10)-(-24+16-20)\)
\(=45\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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