f(ax+b) 型の積分

\(f(ax+b)\) 型の積分の計算方法について見ていきます。

・\(f(ax+b)\) 型の不定積分
合成関数の微分を利用すると、\(f(ax+b)\)の不定積分を求めることができます。
\(f(t)\)の原始関数の1つを\(F(t)\)として、\(F(ax+b)\)を\(x\)で微分すると

\(\{F(ax+b)\}’=f(ax+b)×a\)

となるので、\(f(ax+b)\)の不定積分は次のようになります。(\(a≠0\)とする)

\(\displaystyle\int f(ax+b)dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)

つまり中身の関数が 1次式\(ax+b\) のときは、外側の関数\(f(t)\)を普通に積分して、係数\(a\)で割ればよいということです。

(例題)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int\sqrt{2x+1}dx\)
(2)\(\displaystyle\int(3x+2)^5dx\)
(3)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{5x+3}dx\)
(4)\(\displaystyle\int(e^{-2x+3}+3^{2x+3})dx\)
(5)\(\displaystyle\int\sin x\cos xdx\)
(6)\(\displaystyle\int\sin^2xdx\)
(7)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\tan^22x}dx\)

(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。

(1)
\(\displaystyle\int\sqrt{2x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int(2x+1)^{\frac{1}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}+C\)

(2)
\(\displaystyle\int(3x+2)^5dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{6}(3x+2)^6+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{18}(3x+2)^6+C\)

(3)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{5x+3}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}\log|5x+3|+C\)

(4)
\(\displaystyle\int(e^{-2x+3}+3^{2x+3})dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-2x+3}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{2x+3}}{\log 3}+C\)

(5)
(三角関数は1次式にするのが基本です)
\(\displaystyle\int\sin x\cos xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\sin2xdx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos2x)+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\cos2x+C\)

(6)
\(\displaystyle\int\sin^2xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos2x}{2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin2x+C\)

(7)
(\(\sin^2x+\cos^2x=1\) を\(\sin^2x\)で割った式を利用します)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\tan^22x}dx\)
\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\sin^22x}-1)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(-\displaystyle\frac{1}{\tan2x})-x+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2\tan2x}-x+C\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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