部分積分の演習です。
(例題1)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}dx\)
(2)\(\displaystyle\int e^{2x+e^x}dx\)
(3)\(\displaystyle\int\log(1+\sqrt{x})dx\)
(4)\(\displaystyle\int x\sin^2xdx\)
(5)\(\displaystyle\int x^3\log(x^2+1)dx\)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
\(\sqrt{x}=t\) とおくと
\(x=t^2\)
\(dx=2tdt\)
となるから
\(\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}dx\)
\(=2\displaystyle\int te^{t}dt\)
(部分積分をする)
\(=2(te^{t}-\displaystyle\int e^tdt)\)
\(=2te^{t}-2e^{t}+C\)
\(=2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C\)
(2)
\(e^{x}=t\) とおくと
\(e^xdx=dt\)
\(dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(\displaystyle\int e^{2x+e^x}dx\)
\(=\displaystyle\int e^{2x}\cdot e^{e^x}dx\)
\(=\displaystyle\int t^2\cdot e^{t}\cdot\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(=\displaystyle\int te^{t}dt\)
(部分積分)
\(=te^{t}-\displaystyle\int e^{t}dt\)
\(=te^{t}-e^t+C\)
\(=e^{x}\cdot e^{e^{x}}-e^{e^{x}}+C\)
\(=e^{x+e^{x}}-e^{e^{x}}+C\)
(3)
\(\displaystyle\int\log(1+\sqrt{x})dx\)
において
\(1+\sqrt{x}=t\) とおくと
\(x=(t-1)^2\)
\(dx=2(t-1)dt\)
よって
\(\displaystyle\int\log(1+\sqrt{x})dx\)
\(=\displaystyle\int\log t\cdot2(t-1)dt\)
\(=2\displaystyle\int(t-1)\log tdt\)
(部分積分をすると)
\(=2(\displaystyle\frac{1}{2}t^2-t)\log t-2\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{2}t^2-t)\cdot\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(=(t^2-2t)\log t-\displaystyle\int(t-2)dt\)
\(=(t^2-2t)\log t-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+2t+C’\)
\(=\{(1+\sqrt{x})^2-2(1+\sqrt{x})\}\log(1+\sqrt{x})-\displaystyle\frac{1}{2}(1+\sqrt{x})^2+2(1+\sqrt{x})+C’\)
\(=(x-1)\log(1+\sqrt{x})-\displaystyle\frac{1}{2}x+\sqrt{x}+C\) (定数を置き直した)
(4)
\(\displaystyle\int x\sin^2xdx\)
\(=\displaystyle\int x\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2x}{2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int xdx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int x\cos2xdx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{2}(x\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}\sin2xdx)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{4}x\sin2x-\displaystyle\frac{1}{8}\cos2x+C\)
(5)
\(\displaystyle\int x^3\log(x^2+1)dx\)
(対数関数のほうを微分するのが基本です)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}x^4\cdot\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^5}{x^2+1}dx\)
(分子の次数が大きいので帯分数に直す。割り算をして)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^3-x)(x^2+1)+x}{x^2+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int(x^3-x+\displaystyle\frac{x}{x^2+1})dx\)
(最後の項は、分母を微分すると分子になっているので(係数は調整が必要))
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int(x^3-x+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2x}{x^2+1})dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{4}x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{2}\log|x^2+1|)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^4\log(x^2+1)-\displaystyle\frac{1}{8}x^4+\displaystyle\frac{1}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{4}\log(x^2+1)+C\)
(例題2)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int x^2\sin xdx\)
(2)\(\displaystyle\int x^2e^xdx\)
(3)\(\displaystyle\int (\log x)^3dx\)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
(\(x^2\)は2回微分すると定数になります)
\(\displaystyle\int x^2\sin xdx\)
\(=x^2(-\cos x)-\displaystyle\int2x(-\cos x)dx\)
\(=-x^2\cos x+2\displaystyle\int x\cos xdx\)
\(=-x^2\cos x+2x\sin x-2\displaystyle\int\sin xdx\)
\(=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\)
(2)
\(\displaystyle\int x^2e^xdx\)
\(=x^2e^x-\displaystyle\int2xe^xdx\)
\(=x^2e^x-2xe^x+2\displaystyle\int e^xdx\)
\(=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C\)
(3)
\(\displaystyle\int (\log x)^3dx\)
\(=\displaystyle\int 1\cdot(\log x)^3dx\)
\(=x(\log x)^3-\displaystyle\int x\cdot3(\log x)^2\cdot\displaystyle\frac{1}{x}dx\)
\(=x(\log x)^3-3\displaystyle\int(\log x)^2dx\)
\(=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+3\displaystyle\int x\cdot2(\log x)\cdot\displaystyle\frac{1}{x}dx\)
\(=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6\displaystyle\int \log xdx\)
\(=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6x\log x-6\displaystyle\int x\cdot\displaystyle\frac{1}{x}dx\)
\(=x(\log x)^3-3x(\log x)^2+6x\log x-6x+C\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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