分数型の積分の演習です。
①(分子の次数)≧(分母の次数) のときは、帯分数にして分子の次数を下げる。
②分母が因数分解できるなら、部分分数分解をする。
③分母の導関数か分子になっていないか疑う。
です。
(例題)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+x+1}{2x^3+3x^2+6x+1}dx\)
(2)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x^2+x+4}{x^3+x^2+2x+2}dx\)
(3)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^3-4x^2-x-2}{x^2-5x+4}dx\)
(4)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{(x+1)^3}dx\)
(5)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^{x}-e^{-x}}dx\)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
(分子は、ほとんど分母の導関数になっています)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+x+1}{2x^3+3x^2+6x+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{6x^2+6x+6}{2x^3+3x^2+6x+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}\log|2x^3+3x^2+6x+1|+C\)
(2)
(分母は因数分解できます)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x^2+x+4}{x^3+x^2+2x+2}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x^2+x+4}{x^2(x+1)+2(x+1)}dx\) (因数定理を使ってもよい)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x^2+x+4}{(x^2+2)(x+1)}dx\)・・・①
(部分分数分解します)
ここで
\(\displaystyle\frac{3x^2+x+4}{(x^2+2)(x+1)}=\displaystyle\frac{Ax+B}{x^2+1}+\displaystyle\frac{C}{x+1}\)
とおいて、\(A,B,C\)を決定すると
\(A=1\)、\(B=0\)、\(C=2\) だから
①は
\(\displaystyle\int(\displaystyle\frac{x}{x^2+1}+\displaystyle\frac{2}{x+1})dx\)
(1項目は、分母の導関数がほぼ分子)
\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}+\displaystyle\frac{2}{x+1})dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+1)+2\log|x+1|+C\) (\(x^2+1>0\)より)
(3)
(分子の次数が大きいので、割り算してまず帯分数にします。また分母は因数分解できます。)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^3-4x^2-x-2}{x^2-5x+4}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^2-5x+4)(x+1)-6}{x^2-5x+4}dx\)
\(=\displaystyle\int\left\{(x+1)-\displaystyle\frac{6}{(x-1)(x-4)}\right\}dx\)
(部分分数分解して)
\(=\displaystyle\int\left\{(x+1)-6\cdot\displaystyle\frac{1}{3}(\displaystyle\frac{1}{x-4}-\displaystyle\frac{1}{x-1})\right\}dx\)
\(=\displaystyle\int\left\{x+1-\displaystyle\frac{2}{x-4}+\displaystyle\frac{2}{x-1}\right\}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+x-2\log|x-4|+2\log|x-1|+C\)
(このままでもよいが、\(\log\)をまとめると)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+x+2\log\left|\displaystyle\frac{x-1}{x-4}\right|+C\)
(4)
としてもよいですが、以下のように変形すると楽です。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{(x+1)^3}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x+1)-2}{(x+1)^3}dx\)
\(=\displaystyle\int\left\{\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3}\right\}dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{x}{(x+1)^2}+C\)
(5)
(\(e^x=t\) と置き換えるのが基本です)
\(e^x=t\) とおくと
\(e^xdx=dt\)
よって
\(dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^{x}-e^{-x}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t-\displaystyle\frac{1}{t}}\cdot\displaystyle\frac{1}{t}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t^2-1}dt\)
(部分分数分解して)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\right)dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\log|t-1|-\log|t+1|)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\left|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\right|+C\)
(もとに戻して)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\left|\displaystyle\frac{e^x-1}{e^x+1}\right|+C\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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