無理式を含む三角関数、\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)、\(t=\tan x\) と置換する積分について見ていきます。例題に入る前に後半の置換について少しだけ説明しておきます。
・\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)、\(t=\tan x\) と置換する積分
\(\sin x\) と \(\cos x\) の1次式で表される関数(主に分数関数)の積分は、
\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)・・・①
と置換するとうまくいく場合が多いです。なぜなら①より
\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)、\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1+t^2}{2}\)
(詳しくは例題参照)
となるので、\(t\)の有理式(\(t\)の整式からできている式)の積分に帰着できるからです。
また、\(\sin x\) と \(\cos x\) の2次式で表される関数(主に分数関数)の積分は
\(t=\tan x\)・・・②
と置換するとうまくいく場合が多いです。(理由はほぼ同じ)
これらの特殊な置換積分は、(例題2)と(例題3)で扱いたいと思います。
(例題1)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int\sqrt{1+\cos x}dx\)
(2)\(\displaystyle\int\sqrt{1+\sin x}dx\)
((1)(2) いずれも \(0<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) とする)
(3)\(\displaystyle\int\sqrt{1-2\sin2x+3\cos^2x}dx\)
(\(\sin x-2\cos x>0\) とする)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
\(\displaystyle\int\sqrt{1+\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)
\(=\sqrt{2}\displaystyle\int|\cos\displaystyle\frac{x}{2}|dx\)
\(=\sqrt{2}\displaystyle\int\cos\displaystyle\frac{x}{2}dx\) (\(0<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) より)
\(=2\sqrt{2}\sin\displaystyle\frac{x}{2}+C\)
(2)
もしくは、\(1=\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\) を利用する方法もあります。
\(\displaystyle\int\sqrt{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{1+\cos(\displaystyle\frac{π}{2}-x)}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{2\cos^2(\displaystyle\frac{π}{4}-\displaystyle\frac{x}{2})}dx\)
\(=\sqrt{2}\displaystyle\int|\cos(\displaystyle\frac{π}{4}-\displaystyle\frac{x}{2})|dx\)
\(=\sqrt{2}\displaystyle\int\cos(\displaystyle\frac{π}{4}-\displaystyle\frac{x}{2})dx\) (\(0<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) より)
\(=-2\sqrt{2}\sin(\displaystyle\frac{π}{4}-\displaystyle\frac{x}{2})+C\)
(別解)
\(\displaystyle\int\sqrt{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}+2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{(\sin\displaystyle\frac{x}{2}+\cos\displaystyle\frac{x}{2})^2}dx\)
\(=\displaystyle\int|\sin\displaystyle\frac{x}{2}+\cos\displaystyle\frac{x}{2}|dx\)
\(=\displaystyle\int(\sin\displaystyle\frac{x}{2}+\cos\displaystyle\frac{x}{2})dx\) (\(0<x<\displaystyle\frac{π}{2}\) より)
\(=-2\cos\displaystyle\frac{x}{2}+2\sin\displaystyle\frac{x}{2}+C\)
※答えの一致を確認すると
\(-2\sqrt{2}\sin(\displaystyle\frac{π}{4}-\displaystyle\frac{x}{2})+C\)
\(=-2\sqrt{2}(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\cos\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sin\displaystyle\frac{x}{2})+C\)
\(=-2\cos\displaystyle\frac{x}{2}+2\sin\displaystyle\frac{x}{2}+C\)
(3)
\(\displaystyle\int\sqrt{1-2\sin2x+3\cos^2x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{(\sin^2x+\cos^2x)-4\sin x\cos x+3\cos^2x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{\sin^2x-4\sin x\cos x+4\cos^2x}dx\)
\(=\displaystyle\int\sqrt{(\sin x-2\cos x)^2}dx\)
\(=\displaystyle\int|\sin x-2\cos x|dx\)
\(=\displaystyle\int(\sin x-2\cos x)dx\) (条件より)
\(=-\cos x-2\sin x+C\)
(例題2)
(1)\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) とするとき、\(\sin x\)、\(\cos x\) をそれぞれ\(t\)で表せ。
(2)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}dx\) を求めよ。
(1)
\(\cos x\) のほうが求めやすいですが、今回は\(\sin x\)から始めたいと思います。
\(\sin x=2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}\)
\(=2\cdot\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}{\cos\displaystyle\frac{x}{2}}\cdot\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\) (この変形がやや巧妙)
\(=2\cdot\tan\displaystyle\frac{x}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)
また
\(\cos x=2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}-1\)
\(=2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}-1\)
\(=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1\)
\(=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
(2)
\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) より
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{1}{2}(1+t^2)\)
だから
\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)
よって \(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をすると、(1)より
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\cdot\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}+4\cdot\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{10}{6t+4(1-t^2)}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{-2t^2+3t+2}dt\)
(因数分解できるので、部分分数分解する)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{(2-t)(1+2t)}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{(2-t)(1+2t)}dt\)
\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{2-t}+\displaystyle\frac{2}{1+2t})dt\)
\(=-\log|2-t|+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\log|1+2t|+C\)
\(=\log\left|\displaystyle\frac{1+2t}{2-t}\right|+C\)
\(=\log\left|\displaystyle\frac{1+2\tan\displaystyle\frac{x}{2}}{2-\tan\displaystyle\frac{x}{2}}\right|+C\)
(参考)
この積分は三角関数の合成を使っても解くことができます。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{\sqrt{25}\sin(x+α)}dx\) (\(α\)は \(\sinα=\displaystyle\frac{4}{5},\ \cosα=\displaystyle\frac{3}{5}\) を満たす角とする)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin(x+α)}dx\)
あとは \(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\) と同じように積分して、最後に\(α\)を使わない式にすればよい。
(例題3)
(1) \(t=\tan x\) とするとき、\(\cos^2x\) を\(t\)で表せ。
(2) (1)の置換により \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^4x}dx\) を求めよ。
(1)
\(1+\tan^2x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) より
\(\cos^2x=\displaystyle\frac{1}{1+t^2}\)
(ちなみに、\(\sin^2x=\displaystyle\frac{t^2}{1+t^2}\) です)
(2)
\(t=\tan x\) より
\(dt=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx=(1+t^2)dx\)
よって
\(dx=\displaystyle\frac{1}{1+t^2}dt\) だから
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^4x}dx\)
\(=\displaystyle\int(1+t^2)^2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+t^2}dt\)
\(=\displaystyle\int(1+t^2)dt\)
\(=t+\displaystyle\frac{1}{3}t^3+C\)
\(=\tan x+\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3x+C\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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