ガウス記号、整数部分と定積分の例題です。
(例題1)
実数\(x\)に対して、\(x\)を越えない最大の整数を\([x]\)で表す。\(n\)を正の整数とし
\(a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}\)
とおく。このとき、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\) を求めよ。
![ガウス記号 積分1](http://mathscience-teach.com/wp-content/uploads/2023/08/e870deabc7b9ca7ec95f49eafb8c166d-300x70.jpg)
ガウス記号は不等式で評価することが基本になります。
\([x]≦x<[x]+1\) より、\(x-1<[x]≦x\) (ガウス記号が主役の式) です。\(x\)が整数だと、例えば \([3]=3\) となるので、片方には等号がつきます。
式の形から区分求積法をおそらく使うのでしょう。不等式ではさみこむおかけで、はさみうちの原理も使えます。
(解答)
\(\sqrt{2n^2-k^2}-1<[\sqrt{2n^2-k^2}]≦\sqrt{2n^2-k^2}\)
より
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n^2}-\displaystyle\frac{1}{n^2}<\displaystyle\frac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}≦\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n^2}\)
\(k=1,2,\cdots,n\) まで変化させて辺々和をとると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n^2}-\displaystyle\frac{1}{n^2}\right\}<\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n^2}\)
(区分求積法が使えるように変形します)
\(\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n}-\displaystyle\frac{n}{n^2}<\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}≦\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sqrt{2n^2-k^2}}{n}\)
よって
\(\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{2-\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right)^2}-\displaystyle\frac{1}{n}<a_n≦\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{2-\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right)^2}\)
\(n \to \infty\) のとき、両辺は
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{2-\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right)^2}=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx\)
(\(x=\sqrt{2}\sinθ\) で置換すると)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\sqrt{2-2\sin^2θ}\ (\sqrt{2}\cosθdθ)\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}2\cos^2θdθ\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}(1+\cos2θ)dθ\)
\(=\left[θ+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2}\right]_{0}^{\frac{π}{4}}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\)
に収束する。(円の面積の一部として計算してもよい)
したがってはさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle\frac{π}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\)
(例題2)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) の整数部分を求めよ。
手が付けにくい問題ですが、計算しにくい\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\)の値の和をどう扱うかがポイントです。問題の和を短冊の面積として考えて、計算しやすい積分計算と比較してみます。
(解答)
図より \(k=1,2,\cdots\) のとき
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}}<\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\)・・・①
(積分が両側にくるように変形します)
①の左側は、\(k \to k-1\) とすれば
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
となるので、①の右側と合わせて
\(\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)・・・②
(積分が計算しやすいように、区間が\(1≦x≦40000\) になるように和をとります)
②の左側の不等式において、\(k=1,2,\cdots,39999\) として辺々加えると
\(\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\displaystyle\sum_{k=1}^{39999}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\)
両辺に\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{40000}}\) を加えて(目標の式にする)
\(\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\)・・・③
同様に②の右側の不等式で、\(k=2,3,\cdots,40000\) として辺々加えると
\(\displaystyle\sum_{k=2}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
両辺に\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}\)を加えて
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx+1\)・・・④
よって③④より
\(\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<\displaystyle\int_{1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}dx+1\)
となるから
\([2\sqrt{x}]_{1}^{40000}+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<[2\sqrt{x}]_{1}^{40000}+1\)
\(2(200-1)+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<2(200-1)+1\)
\(398+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}<399\)
したがって整数部分は\(398\)である。
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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