指数の計算②

引き続き指数の計算の問題です。

(例題1)
\(a=6\) のとき、次の式の値を求めよ。
\(\displaystyle\frac{(a^{\frac{p+q}{q-r}})^{\frac{1}{r-p}}×(a^{\frac{q+r}{r-p}})^{\frac{1}{p-q}}×(a^{\frac{r+p}{p-q}})^{\frac{1}{q-r}}}{a}\)

(解答)
\(\displaystyle\frac{(a^{\frac{p+q}{q-r}})^{\frac{1}{r-p}}×(a^{\frac{q+r}{r-p}})^{\frac{1}{p-q}}×(a^{\frac{r+p}{p-q}})^{\frac{1}{q-r}}}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{a^{\frac{p+q}{(q-r)(r-p)}}×a^{\frac{q+r}{(r-p)(p-q)}}×a^{\frac{r+p}{(p-q)(q-r)}}}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{a^{\frac{p+q}{(q-r)(r-p)}+\frac{q+r}{(r-p)(p-q)}+\frac{r+p}{(p-q)(q-r)}}}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{a^{\frac{(p+q)(p-q)+(q+r)(q-r)+(r+p)(r-p)}{(p-q)(q-r)(r-p)}}}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{a^{\frac{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}{(p-q)(q-r)(r-p)}}}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{a^0}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\)

(例題2)
\(x>0\),　\(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3\) のとき、次の式の値を求めよ。

(1)\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\)
(2)\(x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}}\)

(解答)
(1)
\(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3\)
の両辺を2乗して

\((x^{\frac{1}{4}})^2+2\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{-\frac{1}{4}}+(x^{-\frac{1}{4}})^2=9\)

\(x^{\frac{1}{2}}+2\cdot1+x^{-\frac{1}{2}}=9\)

したがって
\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=7\)

(2)

\((x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}})^2\)
\(=(x^{\frac{1}{8}})^2+2\cdot x^{\frac{1}{8}}\cdot x^{\frac{1}{8}}+(x^{-\frac{1}{8}})^2\)
\(=x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}+2\)
\(=3+2\)
\(=5\)

\(x^{\frac{1}{8}}>0\),　\(x^{-\frac{1}{8}}>0\) より
\(x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}}>0\) だから

\(x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}}\)\(=\sqrt{5}\)

※(2)の問題で何をやっているかを整理します。
分かりやすくするため、一番指数の数が小さいものを置き換えて
\(x^{\frac{1}{8}}=a\)
とします。

すると本問は

条件:\(a^2+\displaystyle\frac{1}{a^2}=3\) のとき
(1)\(a^4+\displaystyle\frac{1}{a^4}\)
(2)\(a+\displaystyle\frac{1}{a}\)

を求めよという問題になります。
(1)では条件式を2乗すればよく、(2)では\(a+\displaystyle\frac{1}{a}\) のほうを2乗すればよいのが分かりますね。

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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