対数不等式の問題について見ていきます。
(例題1)次の不等式を解け。
(1)\(1+\log_{\frac{1}{2}}(x-3)>\log_{\frac{1}{4}}x\)
(2)\((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x>0\)
(解答)
(1)
\(1+\log_{\frac{1}{2}}(x-3)>\log_{\frac{1}{4}}x\)・・・①
真数条件から
\(x-3>0\) かつ \(x>0\)
よって \(x>3\)
①から
\(1+\log_{\frac{1}{2}}(x-3)>\displaystyle\frac{\log_{\frac{1}{2}}x}{2}\)
\(2+2\log_{\frac{1}{2}}(x-3)>\log_{\frac{1}{2}}x\)
\(\log_{\frac{1}{2}}(\displaystyle\frac{1}{2})^2+\log_{\frac{1}{2}}(x-3)^2>\log_{\frac{1}{2}}x\)
\(\log_{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{1}{4}(x-3)^2>\log_{\frac{1}{2}}x\)
底が1より小さいので
\(\displaystyle\frac{1}{4}(x-3)^2\color{red}{<}x\)
\(x^2-10x+9<0\)
\((x-1)(x-9)<0\)
\(1<x<9\)
\(x>3\) と合わせて
\(3<x<9\)
(2)
\((\log_{2}x)^2-\log_{2}4x>0\)・・・②
真数条件より
\(x>0\)
\(\log_{2}4x=\log_{2}4+\log_{2}x\)
となるので、この不等式は \(\log_{2}x\) の2次不等式となっていることが分かります。
(\(\log_{2}x=t\) とおけば、\(t\)の2次不等式)
②より
\((\log_{2}x)^2-(\log_{2}4+\log_{2}x)>0\)
\((\log_{2}x)^2-\log_{2}x-2>0\)
\((\log_{2}x+1)(\log_{2}x-2)>0\)
よって
\(\log_{2}x<-1\), \(\log_{2}x>2\)
\(\log_{2}x<\log_{2}2^{-1}\), \(\log_{2}x>\log_{2}2^2\)
底は1より大きいので
\(x<\displaystyle\frac{1}{2}\), \(x>4\)
\(x>0\) と合わせて
\(0<x<\displaystyle\frac{1}{2}\), \(x>4\)
(例題2)
(1)\(\log_{2}x+\log_{16}x<\log_{x}2+\log_{x}16\) を解け。
(2)\(a\)は正の定数で、\(a≠1\) とする。\(x\)に関数する不等式
\(\log_{a}(2a^2-x^2)≧1+\log_{a}x\)
を解け。
(解答)
(1)
\(\log_{2}x+\log_{16}x<\log_{x}2+\log_{x}16\)・・・① において
底と真数の条件から
\(0<x<1\), \(x>1\)
①より
\(\log_{2}x+\displaystyle\frac{\log_{2}x}{4}<\displaystyle\frac{1}{\log_{2}x}+\displaystyle\frac{4}{\log_{2}x}\)
整理して
\(\log_{2}x<\displaystyle\frac{4}{\log_{2}x}\)・・・②
\(t<\displaystyle\frac{4}{t}\) となります。
分母を払って整理したくなりますが、\(t\)は\(x\)の値によって正負どちらもとりうるために場合分けが必要になります。(負の場合には不等号が入れ替わる)
ここで、\(\log_{2}x=t\) とおくと②は
\(t<\displaystyle\frac{4}{t}\)・・・③
(ア)\(t>0\) (\(x>1\)) のとき
③は \(t^2<4\)
\(-2<t<2\)
\(t>0\) より
\(0<\log_{2}x<2\)
よって
\(1<x<4\)
(イ)\(t<0\) (\(0<x<1\)) のとき
③は
\(t^2>4\)
\(t<-2\), \(t>2\)
\(t<0\) より
\(\log_{2}x<-2\)
よって
\(0<x<\displaystyle\frac{1}{4}\)
以上より
\(0<x<\displaystyle\frac{1}{4}\), \(1<x<4\)
(2)
\(0<a<1\), \(a>1\)
\(\log_{a}(2a^2-x^2)≧1+\log_{a}x\) において
真数条件から
\(2a^2-x^2>0\), \(x>0\)
\(-\sqrt{2}a<x<\sqrt{2}a\), \(x>0\)
よって
\(0<x<\sqrt{2}a\)・・・④
\(\log_{a}(2a^2-x^2)≧\log_{a}a+\log_{a}x\)
\(\log_{a}(2a^2-x^2)≧\log_{a}ax\)・・・⑤
(ア)\(0<a<1\) のとき
⑤より
\(2a^2-x^2≦ax\)
\(x^2+ax-2a^2≧0\)
\((x+2a)(x-a)≧0\)
\(x≦-2a\), \(x≧a\)
④と合わせて
\(a≦x<\sqrt{2}a\)
(イ)\(a>1\) のとき
⑤より
\(2a^2-x^2≧ax\)
\(x^2+ax-2a^2≦0\)
\((x+2a)(x-a)≦0\)
\(-2a≦x≦a\)
④と合わせて
\(0<x≦a\)
答
\(0<a<1\) のとき \(a≦x<\sqrt{2}a\)
\(a>1\) のとき \(0<x≦a\)
以上になります。おつかれさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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