・常用対数
底を\(10\)とする対数 \(\log_{10}M\) を常用対数といいます。
ところで、任意の正の数\(x\)は、
\(5310=5.31×10^3\), \(0.021=2.1×10^{-2}\)
のように
\(x=a×10^{n}\) (\(n\)は整数, \(1≦a<10\))
の形で表すことができるので、\(x\)の常用対数は次のようになります。
\(\log_{10}x=\log_{10}(a×10^{n})\)\(=n+\log_{10}a\) (整数+小数部分)
なお、\(1≦a<10\) より、 \(0≦\log_{10}a<1\) となる。
したがって、\(1.00\)から\(9.99\)までの数\(a\)の常用対数の値をすべて網羅しておけば、あらゆる正の数についてその常用対数の値(近似値)が分かることになります。この網羅された値が載った表を常用対数表とよびます。
常用対数に関する問題では、問題文に常用対数の値が与えられていたり、常用対数表そのものが与えられたりすることが多いですが、特に、\(\log_{10}2=0.3010\), \(\log_{10}3=0.4771\) は覚えておくと役に立つと思います。(私は ログにいさん ログさんはしなない と覚えてます)
常用対数をとれば、\(n+\log_{10}a\) と整数部分と小数部分に分けることができて、整数部分\(n\)が桁数、小数部分\(\log_{10}a\) が各位の数(最高位やその次の位のような大きな位の数)を決める要素となります。
では次回以降の準備として常用対数の値がいくつか与えられた場合の、他の常用対数の値を求める演習をしていきます。
(例題1)
\(\log_{10}2=0.3010\), \(\log_{10}3=0.4771\) とするとき次の値を求めよ。
(1)\(\log_{10}72\)
(2)\(\log_{10}\displaystyle\frac{6}{\sqrt[3]{12}}\)
(3)\(\log_{10}5\)
(解答)
(1)
\(\log_{10}72\)
\(=\log_{10}(2^3\cdot3^2)\)
\(=3\log_{10}2+2\log_{10}3\)
\(=3×0.3010+2×0.4771\)
\(=1.8572\)
(2)
\(\log_{10}\displaystyle\frac{6}{\sqrt[3]{12}}\)
\(=\log_{10}(2\cdot3)-\log_{10}\sqrt[3]{2^2\cdot3}\)
\(=\log_{10}2+\log_{10}3-\displaystyle\frac{1}{3}(2\log_{10}2+\log_{10}3)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(\log_{10}2+2\log_{10}3)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(0.3010+2×0.4771)\)
\(=0.4184\)
(3)
\(\log_{10}5=\log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=1-\log_{10}2\) です。
\(\log_{10}5\)
\(=\log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}\)
\(=1-\log_{10}2\)
\(=1-0.3010\)
\(=0.6990\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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