色々な数列の和を計算するのに便利なシグマ記号について見ていきます。
・シグマ記号の導入
数列の和を表す式の簡略化や、様々な数列の和を素早く計算するために \(\sum\) (シグマ) を導入します。\(a_1\)から\(a_n\)までの和はこの\(\sum\)を用いて次のように表されます。
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\)
他の和、例えば \(a_3\)から\(a_{n-2}\) までの和の場合には
\(a_3+a_4+\cdots+a_{n-3}+a_{n-2}=\displaystyle\sum_{k=3}^{n-2}a_k\)
となります。
シグマ計算の基礎となる、次の和がどのような式で表されるかを考えていきます。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+\cdots+c\) (\(c\)は\(k\)に関係ない定数)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\) (\(r≠1\)、\(a,r\)は定数)
先に結論をまとめると次のようになります。
とくに \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n\)
②\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)
③\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
④\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
⑤\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}\) (\(r≠1\)、\(a,r\)は定数)
(解説)
①
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+\cdots+c\) (\(c\)が\(n\)個ある)
\(=nc\)
とくに \(c=1\) とすると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n\)
②
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n\)
は、初項\(1\)、末項\(n\)、項数\(n\)の等差数列の和だから
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle\frac{1}{2}n(1+n)\)
③
2乗については \((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\)
3乗については \((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\)
です。(同様に4乗以降の和の公式も導くことができます)
\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) において、\(k=1\)から\(k=n\)まで代入して辺々和をとると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1\)・・・(1)
(左辺)は具体的に数値を代入することで計算でき
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3\)
\(=\{\color{blue}{2^3+3^3+\cdots+n^3}+(n+1)^3\}-(1^3\color{blue}{+2^3+\cdots+n^3})\)
\(=(n+1)^3-1\)
よって①②より(1)は
\((n+1)^3-1=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)+n\)
\(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=(n+1)^3-\displaystyle\frac{3}{2}n(n+1)-(n+1)\)
\(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)\{2(n+1)^2-3n-2\}\)
\(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)(2n^2+n)\)
したがって
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
④
③と同様に、
\((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\) において、\(k=1\)から\(k=n\)まで代入して辺々和をとると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k+1)^4-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^4=4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3+6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1\)
\((n+1)^4-1=4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3+6\cdot\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)+n\)
\(4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)\)
\(4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=(n+1)\{(n+1)^3-n(2n+1)-(2n+1)\}\)
\(4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=(n+1)\{(n+1)^3-(2n+1)(n+1)\}\)
\(4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=(n+1)^2\{(n+1)^2-(2n+1)\}\)
\(4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=(n+1)^2n^2\)
したがって
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
⑤
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\) (\(r≠1\))
は初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和だから
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
なお、\(r=1\)のときは①と同様になる。
・シグマ記号の性質
\((a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots+(a_n+b_n)\)
\(=(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(b_1+b_2+\cdots+b_n)\)
\(pa_1+pa_2+\cdots+pa_n\)
\(=p(a_1+a_2+\cdots+a_n)\)
が成り立つことから、次の等式が成り立ちます。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k\)・・・(ア)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_k=p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\)・・・(イ) (\(p\)は\(k\)に無関係な定数)
まとめると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}qb_k\)
\(=p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k+q\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k\) (\(p,q\)は\(k\)に無関係な定数)
・シグマ記号と変数変換
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
\(\displaystyle\sum_\color{red}{{i=1}}^{n}a_\color{red}{i}=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
より、変数\(k\)をそのまま別の文字に変えても和の値は変わらないことになります。よって
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\displaystyle\sum_\color{red}{{i=1}}^{n}a_\color{red}{i}\)
また、例えば
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+\cdots+n^2\)
について\(k→k+1\)と変換し和の値をそのままにするためには、項が1個ずれることを考慮すると
\(\displaystyle\sum_{\color{red}{k=0}}^{\color{red}{n-1}}(k+1)^2=1^2+2^2+\cdots+n^2\)
となり、変化させる\(k\)の値の範囲が変わることになります。
(例題)次の和をそれぞれ求めよ。
(1)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(6k^2-2k+3)\)
(2)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^k\)
(3)\(\displaystyle\sum_{k=2}^{10}k^3\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(6k^2-2k+3)\)
\(=6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2-2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1\)
\(=6\cdot\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)+3n\)
\(=n\{(n+1)(2n+1)-(n+1)+3\}\)
\(=n(2n^2+2n+3)\)
(2)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^k\)
(初項\(3\)、公比\(3\)、項数\(n\)の等比数列の和)
\(=\displaystyle\frac{3(3^n-1)}{3-1}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}(3^n-1)\)
(3)
途中スタートの和の場合には、まず\(k=1\)スタートの和を求めてから余分なものを引く方法で求めます。
\(\displaystyle\sum_{k=2}^{10}k^3\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{1}k^3\)
\(=\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot10\cdot(10+1)\right\}^2-1\)
\(=55^2-1\)
\(=3024\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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