漸化式と不等式

漸化式と不等式に関する例題です。

数Ⅲでよく出てくる内容ですが、数ⅡBでの知識でも解ける内容です。
応用も効く内容です。

 

(例題)
\(a\)を正の定数とする。\(f(x)=x^2-a\) として、関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((x_n,f(x_n))\)における接線が\(x\)軸と交わる点の\(x\)座標を\(x_{n+1}\)とする。このようにして、\(x_{1}\)から順に\(x_2,x_3,x_4,\cdots\)を作る。ただし、\(x_1>\sqrt{a}\)とする。

(1)\(x_{n+1}\)を\(x_n\)を用いて表せ。
(2)\(\sqrt{a}<x_{n+1}<x_n\) であることを示せ。
(3)\(|x_{n+1}-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n}-\sqrt{a}|\) であることを示せ。
(4)\(|x_n-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}|x_1-\sqrt{a}|\) であることを示せ。

 

(解答)
(1)

微分を用いて接線の方程式を立てて解きます。

漸化式 不等式 例題

\(y=f(x)=x^2-a\)

\((x_n,x_n^2-a)\) における接線の方程式は、\(f'(x)=2x\) より
\(y=2x_n(x-x_n)+x_n^2-a\)

この接線の\(x\)切片が\(x_{n+1}\)だから
\(0=2x_n(x_{n+1}-x_n)+x_n^2-a\)
よって
\(2x_nx_{n+1}=x_n^2+a\)・・・①

ここで、\(x_n=0\) とすると ①は \(0=a\) となるが、\(a\)は正の定数となるから不適。
ゆえに\(x_n≠0\)だから①の両辺を\(2x_n\)で割って

\(x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}x_n+\displaystyle\frac{a}{2x_n}\)

 

(2)

\(\sqrt{a}<x_{n+1}\) と \(x_{n+1}<x_n\) に分けます。(1つ目の不等式は、\(\sqrt{a}<x_n\) として証明します。こうすると\(n=2,3,\cdots\)になりますが、大は小を兼ねるの考えで\(n=1,2,\cdots\)で示していきます。)
不等式の証明の基本は、各辺の差をとることですが、\(\sqrt{a}<x_n\) のほうは\(n\)が自然数であることと、漸化式が手に入っていることから帰納法で示していきます。

(ア)まず \(\sqrt{a}<x_{n}\) を数学的帰納法により示す。

(i)\(n=1\) のとき
条件から \(x_1>\sqrt{a}\) だから成立

(ii)\(n=k\) のとき (\(k=1,2,\cdots\))
\(\sqrt{a}<x_{k}\) が成り立つと仮定する。

このとき漸化式より
\(x_{k+1}-\sqrt{a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x_k+\displaystyle\frac{a}{2x_k}-\sqrt{a}\)

\(=\displaystyle\frac{x_k^2+a-2\sqrt{a}x_k}{2x_{k}}\)

\(=\displaystyle\frac{(x_k-\sqrt{a})^2}{2x_{k}}>0\)

したがって \(\sqrt{a}<x_{k+1}\) であり、\(n=k+1\)でも成立する。

(i)(ii)より、任意の自然数\(n\)で \(\sqrt{a}<x_n\)

 

(イ)次に、\(x_{n+1}<x_n\) を示す。
\(x_{n}-x_{n+1}\)
\(=x_{n}-(\displaystyle\frac{1}{2}x_n+\displaystyle\frac{a}{2x_n})\)

\(=\displaystyle\frac{x_n^2-a}{2x_{n}}>0\) (∵(ア)より \(x_n^2>a\) )

よって \(x_{n+1}<x_n\)

(ア)(イ)より
\(\sqrt{a}<x_{n+1}<x_n\)

 

(3)

\(|x_{n+1}-\sqrt{a}|\) を漸化式を用いて\(x_n\)のみの式にして変形していきます。途中の式変形が難しいかもしれませんが、最終的に右辺の形、特に係数が\(\displaystyle\frac{1}{2}\)となることが目標であることを意識します。
なおこの例題だと絶対値はあっても無くても変わりませんが、正負どちらにも対応できるように絶対値をつけることが多いです。詳しくは解答後の(参考)を見て下さい。

\(|x_{n+1}-\sqrt{a}|\)

\(=|\displaystyle\frac{1}{2}x_n+\displaystyle\frac{a}{2x_n}-\sqrt{a}|\)

\(=\left|\displaystyle\frac{(x_n-\sqrt{a})^2}{2x_{n}}\right|\)

\(=\left|\displaystyle\frac{x_n-\sqrt{a}}{2x_n}\right||x_n-\sqrt{a}|\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left|(1-\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{x_n})\right||x_n-\sqrt{a}|\)

ここで(2)より \(x_n>\sqrt{a}\ (>0)\) だから
\(0<\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{x_n}<1\)
よって
\(\left|(1-\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{x_n})\right|<1\)
となるから

\(|x_{n+1}-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2}|x_n-\sqrt{a}|\)

 

(4)

通常の等比型の漸化式 \(a_{n}=2a_{n-1}\) の一般項を求める際に、1つずつ項の番号を下げる方法で求めると
\(a_n=2a_{n-1}=2^2a_{n-2}=2^3a_{n-3}=\cdots=2^{n-1}a_1\)
となります。これと同じことを不等式でもやります。(3)の不等式は両辺で1つずれた形になっているのでこの方法が使えます。

(3)より
\(|x_{n}-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n-1}-\sqrt{a}|\)

\(<\displaystyle\frac{1}{2^{2}}|x_{n-2}-\sqrt{a}|\)

\(<\displaystyle\frac{1}{2^{3}}|x_{n-3}-\sqrt{a}|\)

\(\cdots<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}|x_1-\sqrt{a}|\)

よって
\(|x_n-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}|x_1-\sqrt{a}|\)

 

 

(参考)極限と近似値
(4)で証明した不等式

\(|x_n-\sqrt{a}|<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}|x_1-\sqrt{a}|\)

より、\(n\)をどんどん大きくしていくと右辺はどんどん小さくなっていき、\(0\)に近づいていく。よってこの不等式から\(n\)を大きくしていくと、\(x_n\)は\(\sqrt{a}\)に近づくことが分かる。実際、極限(数Ⅲ)を求めると

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=\sqrt{a}\)

となる。また、(2)で証明した不等式

\(x_{n+1}<x_{n}\)  (ただし \(x_1>\sqrt{a}\))

より、この数列は単調減少となるから、\(n\)が大きいほど\(x_n\)は\(\sqrt{a}\)に近い。
((3)の不等式からも分かる)

またこの数列の漸化式は

\(x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}x_n+\displaystyle\frac{a}{2x_n}\)

であるから、\(a\)が有理数のとき、条件 \(x_1>\sqrt{a}\) を満たすような有理数\(x_1\)を選べば、漸化式に次々に代入することによって、有理数 \(x_2,x_3,x_4,\cdots\) が求まり、項を増やすことでより\(\sqrt{a}\)により近い数を求めることができる。(有理数なので 分子÷分母 で値が計算できる)

このようにして\(\sqrt{a}\)の近似値を高い精度で求めることができる。(ニュートン法とよばれる)

なお、\(x_n-\sqrt{a}\) のような差がいつも正の値とは限らないので、極限や近似値を求める際には絶対値を付けることが多い。

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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