等式の証明の基礎

等式\(A=B\)の証明方法について学んでいきます。

・等式の証明
等式\(A=B\)を証明するには次の方法があります

基本的には、複雑な式を簡単な式に変形することがポイントとなります。

(例題)次の等式を証明せよ。
(1)\((a^2+b^2+c^2)\)\((x^2+y^2+z^2)\)\(-(ax+by+cz)^2\)
\(=\)\((ay-bx)^2\)\(+(bz-cy)^2\)\(+(cx-az)^2\)

(2)\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{x^2+3x+2}\)\(-\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+6})\)

(解答)
(1)

(左辺)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2\)\(+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2\)\(+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(-(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)\(+2abxy+2bcyz+2cazx)\)

\(=a^2y^2+a^2z^2\)\(+b^2x^2+b^2z^2\)\(+c^2x^2+c^2y^2\)
\(-2abxy-2bcyz-2cazx\)・・・(※)

また
(右辺)
\(=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)\(+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)\)\(+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)\)

よって、(左辺)=(右辺)であり、等式は証明された。

(別解)
左辺を展開して(※)を導くまでは同じ。
(※)の項を2乗の形にできるように、並びかえて

(左辺)
\(=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)\(+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)\)\(+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)\)
\(=(ay-bx)^2\)\(+(bz-cy)^2\)\(+(cx-az)^2\)
\(=\)(右辺)

(2)

(右辺の括弧内)
\(=\displaystyle\frac{1}{x^2+3x+2}\)\(-\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+6}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(-\displaystyle\frac{1}{(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

よって
(右辺)
\(=\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)
\(=\)(左辺)

よって等式は証明された。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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