等式の証明の基礎

等式\(A=B\)の証明方法について学んでいきます。

 

・等式の証明
等式\(A=B\)を証明するには次の方法があります

①\(A\)を変形して\(B\)を導く or \(B\)を変形して\(A\)を導く
②\(A,B\)をそれぞれ変形して、同じ式を導く
③\(A-B=0\) (\(A=B\)と同値) を示す。

基本的には、複雑な式を簡単な式に変形することがポイントとなります。

 

(例題)次の等式を証明せよ。
(1)\((a^2+b^2+c^2)\)\((x^2+y^2+z^2)\)\(-(ax+by+cz)^2\)
\(=\)\((ay-bx)^2\)\(+(bz-cy)^2\)\(+(cx-az)^2\)

(2)\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{x^2+3x+2}\)\(-\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+6})\)

 

(解答)
(1)

両辺ともに複雑な式なので、両辺を変形します。
(別解のように左辺を変形して右辺を導く方法もあります。)

(左辺)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2\)\(+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2\)\(+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(-(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)\(+2abxy+2bcyz+2cazx)\)

\(=a^2y^2+a^2z^2\)\(+b^2x^2+b^2z^2\)\(+c^2x^2+c^2y^2\)
\(-2abxy-2bcyz-2cazx\)・・・(※)

また
(右辺)
\(=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)\(+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)\)\(+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)\)

よって、(左辺)=(右辺)であり、等式は証明された。

 

(別解)
左辺を展開して(※)を導くまでは同じ。
(※)の項を2乗の形にできるように、並びかえて

(左辺)
\(=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)\(+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)\)\(+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)\)
\(=(ay-bx)^2\)\(+(bz-cy)^2\)\(+(cx-az)^2\)
\(=\)(右辺)

 

左辺から右辺を導く別解の方法をとる場合は、ゴール(右辺の形)を導けるように意識しながら変形します。

 

(2)

左辺は簡単にされている式なので、右辺を変形して左辺を導きます。

(右辺の括弧内)
\(=\displaystyle\frac{1}{x^2+3x+2}\)\(-\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+6}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(-\displaystyle\frac{1}{(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

よって
(右辺)
\(=\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)
\(=\)(左辺)

よって等式は証明された。

 

 

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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