比例式

比例式の比の値を求める問題や、条件式が比例式の等式の証明問題は
\(=k\) と文字でおくことがポイントとなります。

 

・比例式
比\(a:b\)に対して、\(\displaystyle\frac{a}{b}\)を比の値といい、
\(\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}\) のような比の値が等しいことを示す式を比例式といいます。
また、3つ以上の比(\(a:b:c\)など)を連比(れんぴ)といいます。

 

 

(例題1)
\(\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}\)のとき、\(\displaystyle\frac{a+b}{a-b}\)\(=\displaystyle\frac{c+d}{c-d}\) を証明せよ。

 

比例式\(=k\)とおきます。あとは条件式を両辺それぞれに代入するだけです。
なおこの種の問題は、問題文に書かれている分数式の分母はすべて\(0\)でないという前提で解いていきます。

(解答)
\(\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}\)\(=k\) とおくと (\(b≠0,d≠0\))

\(a=bk\), \(c=dk\)

よって
(左辺)
\(=\displaystyle\frac{bk+b}{bk-b}\)\(=\displaystyle\frac{b(k+1)}{b(k-1)}\)\(=\displaystyle\frac{k+1}{k-1}\)

(右辺)
\(=\displaystyle\frac{dk+d}{dk-d}\)\(=\displaystyle\frac{d(k+1)}{d(k-1)}\)\(=\displaystyle\frac{k+1}{k-1}\)

ゆえに(左辺)=(右辺)

 

 

(例題2)
\(\displaystyle\frac{x+y}{3}\)\(=\displaystyle\frac{y+z}{4}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{5}\)\((≠0)\) のとき、

連比 \(x:y:z\) と \(\displaystyle\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\) の値を求めよ。

 

比例式\(=k\)とおきます。
すると、\(x,y,z\)を\(k\)で表すことができます。

(解答)
\(\displaystyle\frac{x+y}{3}\)\(=\displaystyle\frac{y+z}{4}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{5}\)\(=k\) とおくと (\(k≠0\))

\(x+y=3k\)・・・①
\(y+z=4k\)・・・②
\(z+x=5k\)・・・③
となる。

①+②+③より
\(x+y+z=6k\)・・・④

④ー①,④ー②,④ー③より
\(z=3k\), \(x=2k\), \(y=k\)・・・⑤

よって
\(x:y:z=2k:k:3k\)\(=\)\(2:1:3\)

また
\(\displaystyle\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\displaystyle\frac{2k^2+3k^2+6k^2}{4k^2+k^2+9k^2}\) (⑤より)

\(=\displaystyle\frac{11k^2}{14k^2}\)

\(=\)\(\displaystyle\frac{11}{14}\)

 

 

(例題3)
\(\displaystyle\frac{y+z}{x}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{y}\)\(=\displaystyle\frac{x+y}{z}\) のとき、この式の値を求めよ。

 

比例式なので\(=k\)とおきます。
しかし今回は\(x,y,z\)を\(k\)で表すのは大変そうです。
そこで、出てきた3つの式の和をとることで、共通因数\(x+y+z\)を作ります。

(解答)
\(\displaystyle\frac{y+z}{x}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{y}\)\(=\displaystyle\frac{x+y}{z}\)\(=k\) とおくと

\(y+z=kx\)・・・(1)
\(z+x=ky\)・・・(2)
\(x+y=kz\)・・・(3)

(1)+(2)+(3) より
\(2(x+y+z)=k(x+y+z)\)
\((2-k)(x+y+z)=0\)
よって、\(k=2\) または \(x+y+z=0\)

 

(ア)\(k=2\)のとき (イ)\(x+y+z=0\) で場合分けです。
この際に、もとの分数式の分母(\(x,y,z\))が\(0\)にならないものがあることも確認しておきます。(もし\(0\)以外の値をとらない場合には分母が\(0\)になるので不適となる)

(ア)\(k=2\)のとき
(1)(2)より
\(y+z=2x\), \(z+x=2y\) だから
\(z=2x-y\)・・・(4), \(z=2y-x\) であり
\(2x-y=2y-x\) となるので
\(x=y\)

(4)より \(z=x\) だから
\(x=y=z\)・・・(5)

(5)を満たす\(x≠0\),\(y≠0\),\(z≠0\) である\(x,y,z\)は存在して
このとき

\(\displaystyle\frac{y+z}{x}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{y}\)\(=\displaystyle\frac{x+y}{z}\)\(=\)\(2\)

 

(イ)\(x+y+z=0\)のとき
\(x≠0\),\(y≠0\),\(z≠0\) である\(x,y,z\)は存在して
このとき

\(y+z=-x\), \(z+x=-y\), \(x+y=-z\) だから

\(\displaystyle\frac{y+z}{x}\)\(=\displaystyle\frac{z+x}{y}\)\(=\displaystyle\frac{x+y}{z}\)\(=\)\(-1\)

 

以上より、式の値は \(2,-1\)

 

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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