・平方根
2乗すると \(a\) になる数を\(a\)の平方根といいます。\(a＞0\) のとき \(a\) の平方根は２つあり、正の数の方を \(\sqrt{a}\)、負の方を\(-\sqrt{a}\) と表します。\(a=0\) のときは、\(a\)の平方根は\(0\)のみで、\(\sqrt{0}=0\)となります。\(a＜0\)では、\(a\)の平方根は実数の範囲では存在しません。
・平方根の性質
(1) \(a≧0\) のとき \((±\sqrt{a})^2=a\) \(\sqrt{a}≧0\)
(2) \(\sqrt{a^2}=|a|\)
大事なのは(2)です。定数の時はあまり気にならないかもしれませんが、(文字を含む式)\(^2\)の平方根を外すときは必ず絶対値をつけてください。
\(a＞0\)のときは \(a\)、 \(a＜0\) のときは \(-a\)
よって、\(a=0\) のときも含めて、\(\sqrt{a^2}=|a|\)
\(a＞0,b＞0\)のとき
(1) \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
(2) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}\)
(1) \((\sqrt{a}\sqrt{b})^2=ab\)
\(\sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0\) より \(\sqrt{a}\sqrt{b}＞0\)
よって \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) は \(ab\)の正の平方根となるため、
\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
(2)も同様に示せます。
分数式で分母に根号を含む式が含まれる場合、分母が有理数になるように変形することを分母の有理化といいます。複雑な式をキレイにして見やすくするためです。
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{m}±\sqrt{n}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{m}∓\sqrt{n}}{(\sqrt{m}±\sqrt{n})(\sqrt{m}∓\sqrt{n})}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{m}∓\sqrt{n}}{m-n}\) (複号同順)
(例)
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
最後に平方根の具体的な値をいくつか紹介します。
\(\sqrt{3}=1.7320508・・・\) (人なみにおごれや)
\(\sqrt{5}=2.2360679・・・・\) (富士山麓オーム鳴く)
\(\sqrt{7}=2.64575・・・\) (菜に虫いない)
また、平方根がどの整数の間にあるのかも重要です。
例)
\(\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}\) から
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。