指数方程式の解き方について見ていきます。
指数の相等「\(a^p=a^q\) \(⇔\) \(p=q\)」 (単純に指数を比較してよい)を使っていきます。
それと置き換えた場合、\(a^x>0\) (正の実数) となることもおさえておきましょう。
(例題1)次の方程式を解け。
(1)\(2^{1-x}=4\sqrt{2}\)
(2)\(16^{x^2}8^x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(3)\(2^{3-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\)
(4)\(27^{x+1}+26\cdot9^x-3^x=0\)
(解答)
(1)
(底\(2\)にそろえる)
\(2^{1-x}=4\sqrt{2}\) より
\(2^{1-x}=2^{2+\frac{1}{2}}\)
\(2^{1-x}=2^{\frac{5}{2}}\)
よって
\(1-x=\displaystyle\frac{5}{2}\)
\(x=-\displaystyle\frac{3}{2}\)
(2)
(底\(2\)にそろえる)
\(16^{x^2}8^x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) より
\((2^4)^{x^2}\cdot(2^3)^x=2^{-\frac{1}{2}}\)
\(2^{4x^2}\cdot2^{3x}=2^{-\frac{1}{2}}\)
\(2^{4x^2+3x}=2^{-\frac{1}{2}}\)
よって
\(4x^2+3x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(8x^2+6x+1=0\)
\((4x+1)(2x+1)=0\)
\(x=-\displaystyle\frac{1}{4},-\displaystyle\frac{1}{2}\)
(3)
\(2^{3-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\) より
\(2^3\cdot2^{-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\)
\(2^{-\frac{x}{8}}=t\) \((t>0)\) とおくと
\(2^{-\frac{x}{4}}=t^2\) だから
\(8t^2+31t-4=0\)
\((8t-1)(t+4)=0\)
\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1}{8}\)
したがって
\(2^{-\frac{x}{8}}=\displaystyle\frac{1}{8}\)
\(2^{-\frac{x}{8}}=2^{-3}\)
\(-\displaystyle\frac{x}{8}=-3\)
\(x=24\)
(4)
\(27^{x+1}+26\cdot9^x-3^x=0\) より
\(27^{x}\cdot27^{1}+26\cdot3^{2x}-3^x=0\)
\(3^{3x}\cdot27+26\cdot3^{2x}-3^x=0\)
\(3^x=t\) (\(t>0\)) とおくと
\(27t^3+26t^2-t=0\)
\(t(27t^2+26t-1)=0\)
\(t(27t-1)(t+1)=0\)
\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1}{27}\)
\(3^x=\displaystyle\frac{1}{27}\)
\(3^x=3^{-3}\)
よって
\(x=-3\)
(例題2) 次の連立方程式を解け。
(1)
\(4^{2x-y}=8^{x+y-1}\)
\(3^{3x+y}=27\)
(2)
\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x+y}=27\)
(解答)
(1)
\(4^{2x-y}=8^{x+y-1}\)
\(3^{3x+y}=27\) より
\(2^{4x-2y}=2^{3x+3y-3}\)
\(3^{3x+y}=3^3\)
よって指数を比較して
\(4x-2y=3x+3y-3\)
\(3x+y=3\)
\(x-5y=-3\)・・・①
\(3x+y=3\)・・・②
①②を解くと
\(x=\displaystyle\frac{3}{4}\), \(y=\displaystyle\frac{3}{4}\)
(2)
\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x+y}=27\) より
\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x}\cdot3^{y}=27\)
\(3^{2x}=X(>0)\), \(3^{y}=Y(>0)\) とおくと
\(X-Y=-6\)・・・③
\(XY=27\)・・・④
③より \(X=Y-6\) を④に代入して
\((Y-6)Y=27\)
\(Y^2-6Y-27=0\)
\((Y-9)(Y+3)=0\)
\(Y>0\) より \(Y=9\)
③より \(X=3(>0)\)
よって
\(3^{2x}=3\)
\(3^{y}=9\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(y=2\)
(別解)
\(3^{2x}-3^{y}=-6\)・・・(i)
\(3^{2x+y}=27\)・・・(ii)
(ii)より
\(3^{2x+y}=3^3\)
\(2x+y=3\)・・・(iii)
(iii) \(y=-2x+3\) を(i)に代入して
\(3^{2x}-3^{-2x+3}=-6\)
\(3^{2x}-3^{-2x}\cdot3^3=-6\)
\(3^{2x}=t(>0)\) とおくと
\(t-\displaystyle\frac{27}{t}=-6\)
両辺\(t\)倍して整理すると
\(t^2+6t-27=0\)
\((t-3)(t+9)=0\)
\(t>0\) より \(t=3\)
\(3^{2x}=3\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\)
(iii)より
\(y\)\(=-2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+3\)\(=2\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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