指数不等式

指数不等式の解き方について見ていきます。

 

基本的には方程式の場合と解き方は変わりませんが、底が\(1\)より小さいときは、大小関係が反対になることに注意してください。

 

(例題1)次の不等式を解け。
(1)\((\displaystyle\frac{1}{2})^x<8\)

(2)\(4^x-3\sqrt{2}\cdot2^x+4>0\)

(3)\((\displaystyle\frac{1}{2})^{2x-1}+4-9(\displaystyle\frac{1}{2})^{x}<0\)

(4)\(2^{x-4}<8^{1-2x}<4^{x+1}\)

 

 

 

(解答)
(1)
(底を\(2\)にすると)

\((\displaystyle\frac{1}{2})^x<8\) より
\(2^{-x}<2^3\)

底が\(1\)より大きいので
\(-x<3\) (不等号そのまま)
\(x>-3\)

(別解)
(底を\(\displaystyle\frac{1}{2}\)にすると)

\((\displaystyle\frac{1}{2})^x<8\) より
\((\displaystyle\frac{1}{2})^x\)\(<\)\((\displaystyle\frac{1}{2})^{-3}\)

底が\(1\)より小さいので
 \(x\)\(>\)\(-3\) (不等号逆転)

(2)

\(2^x=t\) と置き換えます。もちろん \(t>0\) です。

\(4^x-3\sqrt{2}\cdot2^x+4>0\) より
\(2^{2x}-3\sqrt{2}\cdot2^x+4>0\)

\(2^x=t(>0)\) とおくと
\(t^2-3\sqrt{2}t+4>0\)
\((t-\sqrt{2})(t-2\sqrt{2})>0\)・・・①

①より \(t<\sqrt{2}\),  \(t>2\sqrt{2}\) であり
\(t>0\) と合わせると

\(0<t<\sqrt{2}\), \(t>2\sqrt{2}\)

よって
\(0<2^x<\sqrt{2}\), \(2^x>2\sqrt{2}\)
\(0<2^x<2^{\frac{1}{2}}\), \(2^x>2^{\frac{3}{2}}\)

底が\(1\)より大きいから
\(x<\displaystyle\frac{1}{2}\), \(x>\displaystyle\frac{3}{2}\)

\(2^x>0\) はグラフを考えれば分かりますが、すべての実数\(x\)について成り立ちます。

 

(3)
\((\displaystyle\frac{1}{2})^{2x-1}+4-9\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{x}<0\) より
\(2\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{2x}-9\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{x}+4<0\)

\((\displaystyle\frac{1}{2})^{x}=t(>0)\) とおくと

\(2t^2-9t+4<0\)
\((2t-1)(t-4)<0\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}<t<4\) (\(t>0\)を満たす)

\(\displaystyle\frac{1}{2}<(\displaystyle\frac{1}{2})^{x}<4\)
\((\displaystyle\frac{1}{2})^1<(\displaystyle\frac{1}{2})^{x}<(\displaystyle\frac{1}{2})^{-2}\)

底が\(1\)より小さいので
\(-2<x<1\)

 

(4)
(すべて底\(2\)に統一すると)

\(2^{x-4}<8^{1-2x}<4^{x+1}\) より
\(2^{x-4}<2^{3(1-2x)}<2^{2(x+1)}\)

底が\(1\)より大きいので
\(x-4<3(1-2x)<2(x+1)\)

左辺と中辺から
\(x-4<3(1-2x)\)
これを解いて
\(x<1\)

中辺と右辺から
\(3(1-2x)<2(x+1)\)
これを解いて
\(x>\displaystyle\frac{1}{8}\)

したがって
\(\displaystyle\frac{1}{8}<x<1\)

 

 

(例題2)次の連立不等式を解け。
\(3^{(x-2)(x-4)}<1\)
\((\displaystyle\frac{1}{3})^{(x-3)(x-5)}>1\)

 

 

(解答)

\(3^0=(\displaystyle\frac{1}{3})^0=1\) です。

\(3^{(x-2)(x-4)}<3^0\)
\((\displaystyle\frac{1}{3})^{(x-3)(x-5)}>(\displaystyle\frac{1}{3})^0\)

それぞれ底は、\(3\)と\(\displaystyle\frac{1}{3}\) だから

\((x-2)(x-4)<0\)・・・①
\((x-3)(x-5)\)\(<\) \(0\)・・・②

①より \(2<x<4\)・・・③
②より \(3<x<5\)・・・④

③かつ④より
\(3<x<4\)

 

2式両方を満たす\(x\)を求めるので、③④の共通部分(③かつ④)になります。

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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