前回 →(4-7)絶対値を含む1次方程式・不等式① のような「\(|x|=c\) ただし\(c>0\)」などの特殊な場合を除いて、絶対値を含む方程式・不等式では原則的に場合分けをしていきます。
(例題1)次の方程式・不等式を解け。
(1) \(2x+5=|x-2|\)
(2) \(|x+3|≦2x+4\)
(解答)
(1)
①\(x<2\)のとき
\(2x+5=-(x-2)\)
これを解くと
\(x=-1\) これは\(x<2\)を満たす。
②\(x≧2\)のとき
\(2x+5=x-2\)
これを解くと
\(x=-7\) これは\(x≧2\)を満たさないので不適。
以上から \(x=-1\)
(2)
①\(x<-3\)のとき
\(-(x+3)≦2x+4\)
これを解くと
\(x≧-\displaystyle\frac{7}{3}\)
これと\(x<-3\)の共通範囲はない。
②\(x≧-3\)のとき
\(x+3≦2x+4\)
これを解くと
\(x≧-1\)
これと\(x≧-3\)の共通範囲は \(x≧-1\)
以上から \(x≧-1\)
(例題2)次の方程式を解け。
\(||x-2|-4|=3x\)
絶対値の中に絶対値がある問題です。内側から1つずつ絶対値を外していきましょう。
(解答)
①\(x<2\)のとき
与式は \(|-(x-2)-4|=3x\)
\(|-x-2|=3x\)
よって \(|x+2|=3x\)・・・(A) (\(|a|=|-a|\)を利用)
①\(x<2\)のとき
与式は \(|-(x-2)-4|=3x\)
\(|-x-2|=3x\)
よって \(|x+2|=3x\)・・・(A) (\(|a|=|-a|\)を利用)
(さらに場合分けして)
[1]\(x<-2\)のとき
(A)は \(-(x+2)=3x\)
これを解いて
\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
これは \(x<-2\)を満たさないので不適。
[2]\(-2≦x<2\)のとき
(A)は \(x+2=3x\)
これを解いて
\(x=1\)
これは \(-2≦x<2\)を満たす。
[1]\(x<-2\)のとき
(A)は \(-(x+2)=3x\)
これを解いて
\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
これは \(x<-2\)を満たさないので不適。
[2]\(-2≦x<2\)のとき
(A)は \(x+2=3x\)
これを解いて
\(x=1\)
これは \(-2≦x<2\)を満たす。
②\(x≧2\)のとき
与式は \(|x-2-4|=3x\)
よって
\(|x-6|=3x\)・・・(B)
与式は \(|x-2-4|=3x\)
よって
\(|x-6|=3x\)・・・(B)
(さらに場合分けして)
[1]\(2≦x<6\)のとき
(B)は \(-(x-6)=3x\)
これを解いて
\(x=\displaystyle\frac{3}{2}\)
これは\(2≦x<6\)を満たさないので不適。
[1]\(2≦x<6\)のとき
(B)は \(-(x-6)=3x\)
これを解いて
\(x=\displaystyle\frac{3}{2}\)
これは\(2≦x<6\)を満たさないので不適。
[2]\(x≧6\)のとき
(B)は \(x-6=3x\)
これを解いて
\(x=-3\)
これは \(x≧6\)を満たさないので不適。
(B)は \(x-6=3x\)
これを解いて
\(x=-3\)
これは \(x≧6\)を満たさないので不適。
以上から \(x=1\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。