定積分の定義や性質について見ていきます。
・定積分
関数 \(y=f(x)\) の不定積分の1つを\(F(x)\)とすると、2つの実数\(a,b\)について
差 \(F(b)-F(a)\) を考えます。
\(f(x)\)の任意の不定積分\(G(x)\)は定数\(C\)を用いて、\(G(x)=F(x)+C\) と表せるので
\(G(b)-G(a)=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)\)
となることから、この差の値は積分定数\(C\)によらない、つまり原始関数の選び方によらない値になります。
そこでこの値 \(F(b)-F(a)\) を、関数 \(f(x)\) の定積分といい、次のように積分記号を用いて表します。
\(\displaystyle\int_a^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right] _a^{b}=F(b)-F(a)\)
また、この定積分を求めることを「関数\(f(x)\)を\(a\)から\(b\)まで積分する」といい、\(a\)をこの定積分の下端、\(b\)を上端、定積分を求める区間 \(a≦x≦b\) を積分区間とよびます。
したがって実際に定積分を計算する際には定数\(C\)が何であってもよいので\(C=0\)として省略して計算していきます。また上端、下端の大小は特に制限なしです。
なお積分区間と表現するのは後に学ぶ、定積分が面積を表すことに着目すると分かりやすいと思います。
・定積分の性質
定積分の性質では、不定積分のときに成り立った成立に加えて、定積分独自の上端,下端に関するものがあります。
まずは不定積分と同じ性質から。
\(k,l\) を定数とする。
定数倍:\(\displaystyle\int_a^bkf(x)dx=k\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)
和:\(\displaystyle\int_a^b\{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int_a^bf(x)dx+\displaystyle\int_a^bg(x)dx\)
差:\(\displaystyle\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx=\displaystyle\int_a^bf(x)dx-\displaystyle\int_a^bg(x)dx\)
まとめると
\(\displaystyle\int_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k\displaystyle\int_a^bf(x)dx+l\displaystyle\int_a^bg(x)dx\)
定数倍・和のみ証明します。(差も同様で、まとめは定数倍と和を組み合わせればできる)
\(f(x),g(x)\)の不定積分の1つを\(F(x),G(x)\)、\(k\)を定数とする。
\(\{kF(x)\}’=kF'(x)=kf(x)\) より、\(kf(x)\)の不定積分の1つが \(kF(x)\)となるから
\(\displaystyle\int_a^bkf(x)dx\)
\(=[kF(x)]_a^b\)
\(=kF(b)-kF(a)\)
\(=k\{F(b)-F(a)\}\)
\(=k\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)
また
\(\{F(x)+G(x)\}’=f(x)+g(x)\) より同様に
\(\displaystyle\int_a^b\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(=[F(x)+G(x)]_a^b\)
\(=F(b)+G(b)-\{F(a)+G(a)\}\)
\(=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)\)
\(=\displaystyle\int_a^bf(x)dx+\displaystyle\int_a^bg(x)dx\)
続いて定積分独自の上端,下端に関する性質です。
(1)\(\displaystyle\int_a^af(x)dx=0\)
(2)\(\displaystyle\int_b^af(x)dx=-\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)
(3)\(\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\displaystyle\int_a^cf(x)dx+\displaystyle\int_c^bf(x)dx\)
(1)上端と下端が同じだと定積分は\(0\)
(2)上端と下端を入れ替えると符号が変わる
(3)\(a\)から\(b\)の間に \(c\)を中継することができる。
また、これらの上端下端の大小関係に制限はありません(証明では大小は無関係にできている)。
(証明)
\(f(x)\) の不定積分の1つを \(F(x)\)とする。
(1)
\(\displaystyle\int_a^af(x)dx\)
\(=[F(x)]_a^a\)
\(=F(a)-F(a)\)
\(=0\)
(2)
\(\displaystyle\int_b^af(x)dx\)
\(=[F(x)]_b^a\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\{F(b)-F(a)\}\)
\(=-\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)
(3)
(右辺)\(=\displaystyle\int_a^cf(x)dx+\displaystyle\int_c^bf(x)dx\)
\(=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\)
\(=F(b)-F(a)\)
\(=\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)
具体的な定積分の計算演習は次回にします。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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