球面の方程式①

球面の方程式について見ていきます。

・球面の方程式(中心からの距離\(r\))

定点\(C(\vec{c})\)を中心とする半径\(r\)の球面上の点を\(P(\vec{p})\)とすると

\(|\overrightarrow{CP}|=r\)・・・①

よって
\(|\vec{p}-\vec{c}|=r\)　(球面のベクトル方程式)
または、2乗すると
\((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2\)  (球面のベクトル方程式,2乗型)

ここで座標空間において球面の方程式がどうなるかを考えます。
\(C(a,b,c)\)、\(P(x,y,z)\) とおくと、\(\overrightarrow{CP}=(x-a,y-b,z-c)\) となるから①を2乗した式から

\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)・・・②　(球面の方程式,座標型)

(②の左辺は\(CP\)の距離の2乗になっています)

特に中心が原点\(O(0,0,0)\)であるときは
\(x^2+y^2+z^2=r^2\)
となります。

さらに②式を展開すると
\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-r^2=0\)

ここで\(x,y,z\)の項の係数と定数項を\(A,B,C,D\)と置き換えると
\(x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0\)・・・③ (球面の方程式,一般形)

(\(x^2,y^2,z^2\)の係数が等しく、他に2次の項はない形になっている)

なお、\(a^2+b^2+c^2-D=r^2>0\) より
\(\displaystyle\frac{A^2}{4}+\displaystyle\frac{B^2}{4}+\displaystyle\frac{C^2}{4}-D>0\) となるので

\(A^2+B^2+C^2-4D>0\)・・・④

が③が球面の方程式になる条件です。この条件を満たさないと③の表す図形は点になるか、存在しないことになります。

・球面の方程式(直径\(AB\))
定点\(A(\vec{a})\)、\(B(\vec{b})\)について、線分\(AB\)を直径とする球面の方程式を考えます。\(A,B\)を通るような平面で球面を切断すると円になりますが、球面の中心を通るので\(A,B\)を通るどの平面で切ったときも大円になります。

球面を平面で切断すると色々な大きさの円ができますが、大円とはこれらの円のうち最も半径が大きい円で、円の半径は球面の半径と同じになります。これより小さい半径の円は小円といいます。球面の中心を通るような平面で切断すると大円となります。

線分\(AB\)はこの大円の直径にもなるので、

\(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{BP}\) または \(A=P\) または \(B=P\)

よって、次の等式が成り立つことになります。

\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)

したがって
\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0\)・・・④ (球面のベクトル方程式,直径型)

また④式は次のように導くこともできます。
\(A,B\)の中点は球面の中心で、その位置ベクトルは \(\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

球面の半径は \(|\vec{b}-\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}|=\displaystyle\frac{|\vec{b}-\vec{a}|}{2}\)

よって、球面の方程式は
\(|\vec{p}-\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}|=\displaystyle\frac{|\vec{b}-\vec{a}|}{2}\)

となり、2乗して変形していくと

\((\vec{p}-\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2})\cdot(\vec{p}-\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2})=\displaystyle\frac{(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{a})}{4}\)

\(|\vec{p}|^2-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0\)

となり④が導かれます。

(例題)
\(x^2+y^2+z^2+6x-3y+z+11=0\) の表す図形を求めよ。

(解答)
\(x^2+6x+y^2-3y+z^2+z+11=0\)

\((x+3)^2+(y-\displaystyle\frac{3}{2})^2+(z+\displaystyle\frac{1}{2})^2-9-\displaystyle\frac{9}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}+11=0\)

\((x+3)^2+(y-\displaystyle\frac{3}{2})^2+(z+\displaystyle\frac{1}{2})^2=(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^2\)

よって、中心\((-3,\displaystyle\frac{3}{2},-\displaystyle\frac{1}{2})\)、半径\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) の球面

本格的な演習は次回に回します。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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