Snとanの関係

和\(S_n\)が\(n\)の式で与えられた場合の、一般項\(a_n\)の求め方について見ていきます。

・\(S_n\)と\(a_n\)の関係式
数列\(\{a_n\}\)の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、\(S_n\)と1つ項が少ない和\(S_{n-1}\) (ただし\(n≧2\)) を並べて書くと

\(\hspace{10pt}S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_{n}\)
\(S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}\)

したがって差をとると
\(S_{n}-S_{n-1}=a_n\)　(\(n≧2\))

また \(n=1\) のときは
\(S_1=a_1\)

となります。

(例題1)
(1)初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)が
\(S_n=\displaystyle\frac{1}{3}n(4n^2-1)\)
で表される数列\(\{a_n\}\)の一般項\(a_n\)を求めよ。

(2)数列\(\{a_n\}\)について、次の式が成立している。
\(S_n=a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)\)
この数列の第\(n\)項\(a_n\)を\(n\)を用いて表せ。

(解答)
(1)
\(n≧2\) のとき
\(a_n=S_{n}-S_{n-1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}n(4n^2-1)-\displaystyle\frac{1}{3}(n-1)\{4(n-1)^2-1\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(12n^2-12n+3)\)
\(=4n^2-4n+1\)・・・①

また
\(a_1=S_1=1\) であり、①で\(n=1\)としても成立する。

したがって
\(a_n=4n^2-4n+1\)　(\(n=1,2,\cdots\))

(2)

\(\hspace{10pt}S_n=a_1+2a_2+\cdots+(n-1)a_{n-1}+na_n\)
\(S_{n-1}=a_1+2a_2+\cdots+(n-1)a_{n-1}\)

よって \(n≧2\) のとき
\(S_n-S_{n-1}=na_n\)

\(S_n=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)\) より

\(na_n=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)-\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n\{4(n-1)-1\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(12n-6)\)

\(=n(2n-1)\)

\(n\)は自然数だから、\(n\)で割って
\(a_n=2n-1\)・・・②

また、\(n=1\) のときは
\(a_1=S_1=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3=1\)
であり、②で \(n=1\) としても成立する。

したがって
\(a_n=2n-1\)　(\(n=1,2,\cdots\))

(例題2)
数列\(\{a_n\}\) (\(n=1,2,\cdots\)) の初項から第\(n\)項までの和が\(S_n\)が
\(S_n=αn^3+βn^2+γn+δ\)　(\(α,β,γ,δ\)は定数) で与えられている。

(1)\(\{a_n\}\)が等差数列となるための必要十分条件を\(α,β,γ,δ\)で表せ。
(2)\(\{a_n\}\)は等差数列ではないが、第\(2\)項以降は等差数列となるための必要十分条件を\(α,β,γ,δ\)で表せ。

(解答)
(1)
\(n≧2\)のとき
\(a_n=S_n-S_{n-1}\)
\(=αn^3+βn^2+γn+δ-\{α(n-1)^3+β(n-1)^2+γ(n-1)+δ\}\)
\(=3αn^2+(-3α+2β)n+α-β+γ\)・・・①

\(a_{n+1}-a_{n}\)　(\(n≧2\))

\(=3α(n+1)^2+(-3α+2β)(n+1)+α-β+γ\)
\(-\{3αn^2+(-3α+2β)n+α-β+γ\}\)

\(=6αn+2β\)・・・②

よって第\(2\)項以降が等差数列となるための条件は、②が\(n\)によらず一定となることなので
\(α=0\)

このとき①より
\(a_n=2βn-β+γ\)・・・③　(\(n≧2\))

また、与式から
\(a_1=S_1=β+γ+δ\)・・・④　(\(∵α=0\))

ここで③で\(n=1\)とした式が④と一致しなければならないので
\(2β-β+γ=β+γ+δ\)
よって
\(δ=0\)

したがって求める条件は
\(α=δ=0\)　(\(β,γ\)は任意)

(2)

第\(2\)項目以降が等差数列になる条件は(1)より
\(α=0\)

また\(\{a_n\}\)全体が等差数列にならないための条件は
\(a_n=2βn-β+γ\)・・・③　(\(n≧2\))
で\(n=1\)とした式が
\(a_1=β+γ+δ\)・・・④
と一致しないことなので

\(2β-β+γ≠β+γ+δ\)
よって
\(δ≠0\)

したがって求める条件は
\(α=0\), \(δ≠0\)　(\(β,γ\)は任意)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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