\(\require{cancel}\)
\(a_{n+1}=f(n)a_n\) 型の漸化式の解き方について見ていきます。
(例題1)
次の条件で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=\displaystyle\frac{2}{3}\), \(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\) (\(n=2,3,4,\cdots\))
②1つずつ項を下げていく方法
の2通りの解法を紹介します。
(解答1)1つずれた形にする方法
\((n+2)a_n=(n-1)a_{n-1}\)
このままだと係数が1つずれた形になっていないので、左辺の\((n+2)\)に対応する\((n+1)\),右辺の\((n-1)\)に対応する\(n\)を考えて、両辺に \(n(n+1)\) を掛けて
\(n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}\)
とすれば1つずれた形になります。
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\)
の両辺に \(n(n+1)(n+2)\) を掛けて
\(n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}\)
ここで、\(b_n=n(n+1)(n+2)a_n\) とおくと
\(b_1=1\cdot2\cdot3a_1=4\)
\(b_n=b_{n-1}\)
はすべての項の値が等しいことを表しています。(公比\(1\)の等比数列や公差\(0\)の等差数列と考えてもよい)
よって \(b_n=b_1\) です。
\(b_n=b_{n-1}=b_{n-2}=\cdots=b_1\) より
\(b_n=4\)
したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{b_n}{n(n+1)(n+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\)
(解答2)1つずつ項を下げていく方法
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\color{blue}{a_{n-1}}\)・・・①
で\(n→n-1\) とすると
\(\color{blue}{a_{n-1}}=\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)・・・②
となりますが、これを①に代入すると
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)・・・③
となり、③は\(n\)から\(n-2\)の漸化式になっています。この操作を繰り返すと
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\cdots a_1\)
という形に持っていくことができます。分数の積が続く形ですが、大部分は約分できます。
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\)・・・①
\(=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)
\(=\displaystyle\frac{\bcancel{n-1}}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-2}}{n+1}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-3}}{n}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-4}}{\bcancel{n-1}}\cdots\)
\(\cdots\displaystyle\frac{\bcancel{4}}{\bcancel{7}}\cdot\displaystyle\frac{3}{\bcancel{6}}\cdot\displaystyle\frac{2}{\bcancel{5}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\bcancel{4}}\cdot a_1\)
\(a_2=\displaystyle\frac{2-1}{2+2}a_{1}=\displaystyle\frac{1}{4}a_{1}\)
を考えます。
よって
\(a_n=\displaystyle\frac{3\cdot2\cdot1}{(n+2)(n+1)n}a_1\)
\(=\displaystyle\frac{6}{n(n+1)(n+2)}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\)
\(=\displaystyle\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\)
(例題2)
次の漸化式で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=-1\), \(a_{n+1}=-(n+1)a_n\)
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=-\displaystyle\frac{a_n}{n!}\)
と1つずれた形になります。
(解答1)1つずれた形にする
\(a_{n+1}=-(n+1)a_n\)
の両辺を\((n+1)!\)で割ると
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=-\displaystyle\frac{a_n}{n!}\)
\(b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n!}\) とおくと
\(b_1=\displaystyle\frac{a_1}{1!}=-1\)
\(b_{n+1}=-b_n\) (等比型)
よって
\(b_n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n\)
したがって
\(a_n=n!b_n=\)\(n!\cdot(-1)^n\)
(解答2)項を1つずつ下げる方法
\(a_{n}=-na_{n-1}\)
と変形しておきます。この式から得られる \(a_{n-1}=-(n-1)a_{n-2}\) を代入すると
\(a_{n}=(-n)\{-(n-1)\}a_{n-2}\)
となり、この操作を繰り返すと\(a_1\)まで項を下げることができて、一般項が得られます。\(n!\)が出てくることはわかると思うので、あとは\(-1\)の掛ける個数を数えます。
\(a_{n}=-na_{n-1}\)・・・①
\(=(-n)\{-(n-1)\}a_{n-2}\)
\(=(-n)\{-(n-1)\}\{-(n-2)\}\cdots(-2)\cdot a_1\)・・・②
\(a_2=-2a_1\)
から考えます。②の文字の積については\(n!\)で、\(-1\)の積の個数については\(2～n-1\) までなので\(n-1\)個です。
よって
\(a_n=n!\cdot(-1)^{n-1}a_1\)
\(=n!\cdot(-1)^{n-1}\cdot(-1)\)
\(=n!\cdot(-1)^{n}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
next→3項間漸化式① back→g(n)an+1=f(n)an+q 型