係数が文字の2次方程式について考えていきます。その前にまず係数が文字の1次方程式を解いてみます。
・文字係数の1次方程式
(問題1)\(a\)を定数とするとき、次の方程式を解け。
\(a^2x=a(x+1)\)
文字ではないただの数字と同じように、□x=△ の形に変形していきます。
(解答)
与式から \((a^2-a)x=a\)
よって \(a(a-1)x=a\)・・・(1)
与式から \((a^2-a)x=a\)
よって \(a(a-1)x=a\)・・・(1)
文字式で割るとき0でないことを確認してから割りましょう。
①\(a≠0\) かつ \(a≠1\) のとき
\(a(a-1)≠0\) なので(1)の両辺を\(a(a-1)\)で割ると
\(x=\displaystyle\frac{1}{a-1}\)
\(a(a-1)≠0\) なので(1)の両辺を\(a(a-1)\)で割ると
\(x=\displaystyle\frac{1}{a-1}\)
②\(a=0\)のとき (1)は
\(0×x=0\) となりすべての\(x\)で成り立つ。
\(0×x=0\) となりすべての\(x\)で成り立つ。
③\(a=1\)のとき (1)は
\(0×x=1\) となりこれを満たす\(x\)は存在しない。
\(0×x=1\) となりこれを満たす\(x\)は存在しない。
以上①～③より
\(a≠0\) かつ \(a≠1\) のとき \(x=\displaystyle\frac{1}{a-1}\)
\(a=0\)のとき 解はすべての数
\(a=1\)のとき 解はない
\(a≠0\) かつ \(a≠1\) のとき \(x=\displaystyle\frac{1}{a-1}\)
\(a=0\)のとき 解はすべての数
\(a=1\)のとき 解はない
続いて文字係数の2次方程式です。
・文字係数の2次方程式
(問題2)\(a\)を定数とするとき、次の方程式を解け。
\(ax^2-(a+1)x+1=0\)
(問題2)\(a\)を定数とするとき、次の方程式を解け。
\(ax^2-(a+1)x+1=0\)
\(x^2\)の係数が0のとき(1次以下の方程式のとき)から考えます。
①\(a=0\)のとき 与式は
\(-x+1=0\) よって 解は \(x=1\)
\(-x+1=0\) よって 解は \(x=1\)
②\(a≠0\)のとき 与式は2次方程式となり因数分解すると
\((ax-1)(x-1)=0\) よって解は
\(x=1,\displaystyle\frac{1}{a}\)
\((ax-1)(x-1)=0\) よって解は
\(x=1,\displaystyle\frac{1}{a}\)
因数分解できないときは解の公式を使って下さい。もちろん2次の係数は0でないことを確認してからです。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
ここまで見て頂きありがとうございました。