2次方程式の解が分かっている場合の、もとの2次方程式の係数を決定する方法を見ていきましょう。
(問題1)
2次方程式 \(x^2+ax+b=0\) の2解が\(2\)と\(-1\)であるとき、定数\(a,b\)の値を求めよ。
解が2つ与えられているので、文字２つの式が2つたちます。よって連立方程式を解くことで2文字が求まります。
(解答)
\(x=-1,2\)をそれぞれ2次方程式に代入して
\(1-a+b=0\)・・・①
\(4+2a+b=0\)・・・②
①②を解いて、\(a=-1\) \(b=-2\)
(問題2)
\(a,b\)を有理数の定数とする。2次方程式 \(x^2+ax+b=0\)の１つの解が \(1+\sqrt{2}\) のとき、\(a,b\)の値と2次方程式の他の解を求めよ。
解が1つしか与えられていないので、文字数2つの式1つで、\(a,b\)が求まらないように思えますが、\(a,b\)が有理数、\(\sqrt{2}\)が無理数であることに着目します。
(解答)
\(x=1+\sqrt{2}\) を2次方程式に代入して
\((1+\sqrt{2})^2+a(1+\sqrt{2})+b=0\)
整理して
\((3+a+b)+(2+a)\sqrt{2}=0\)
\(a,b\)が有理数だから \(3+a+b\), \(2+a\)は有理数。
よって
\(3+a+b=0\)・・・①
\(2+a=0\)・・・②
よって
\(3+a+b=0\)・・・①
\(2+a=0\)・・・②
①②を解いて、\(a=-2\) \(b=-1\)
このときもとの2次方程式は、\(x^2-2x-1=0\)なのでこれを解くと
\(x=1±\sqrt{2}\)
\(x=1±\sqrt{2}\)
よって他の解は \(x=1-\sqrt{2}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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