逆関数の微分

逆関数の微分について見ていきます。

・逆関数の導関数
合成関数の微分を利用すると、逆関数の導関数を求めることができます。
関数\(f(x)\)の逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき、\(y=f^{-1}(x)\) の導関数 \(y’=\{f^{-1}(x)\}’\) がどうなるかを考えてみます。

\(y=f^{-1}(x)\)・・・① より
\(x=f(y)\)・・・② だから (①②は同じ方程式)

②の両辺を\(x\)で微分すると
(左辺について)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}(x)=\color{blue}{1}\)

(右辺について)
合成関数の微分より、\(y\)の微分で中継して
\(\displaystyle\frac{d}{dx}f(y)=\displaystyle\frac{d}{dy}f(y)\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}=\color{blue}{\displaystyle\frac{dx}{dy}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}}\) (②より)

よって
\(1=\displaystyle\frac{dx}{dy}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}\)
となるから、\(\displaystyle\frac{dx}{dy}≠0\) のとき

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}\)・・・③

③を①②を用いて表すと

\(\displaystyle\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{d}{dy}f(y)}\)・・・④

となるので、導関数 \(\{f^{-1}(x)\}’\) を求めるには、もとの関数の\(y=f(x)\)の\(x,y\)を入れかえた \(x=f(y)\) を\(y\)で微分して逆数をとればよいことになります。

ここで④において、左辺は\(x\)の式、右辺は\(y\)の式になっていますが、逆関数の方程式①②で\(y\)と\(x\)の関係式が与えられているので、簡単に文字消去できる場合には、一方の文字で統一することが可能です。

例えば、\(f(x)=x^2\) (\(x≧0\)) だと、
逆関数は
\(y=f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)・・・①’
であり、
\(x=f(y)=y^2\)・・・②’ より (①’②’は同じ方程式)

\(\{f^{-1}(x)\}’=\displaystyle\frac{1}{f'(y)}=\displaystyle\frac{1}{2y}=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

この逆関数の導関数の公式の良いところは、もとの関数が \(f(x)=x^3+x^2-x+1\) のような、逆関数が具体的に求まらない場合でも導関数が分かる点にあります。ただし上の例のように、簡単に\(y\)を\(x\)で表すことができないので、\(\displaystyle\frac{d}{dx}f^{-1}(x)\)は\(y\)の式で表すことにはなります。

なお、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}\)・・・③
は、もとの関数 \(y=f(x)\) についても同じ議論をすることで成り立つことが分かるので、
\(x=y^3+y+1\) のように \(x\)が\(y\)の式で表されている場合に、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) を求めたい場合などにも有効です。

(例題)
(1)\(f(x)=x^3\) の逆関数 \(g(x)=\sqrt[3]{x}\) の導関数 \(g'(x)\) を求めよ。

(2)\(x=y^2+2y+1\)　(\(y<-1\))　について、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) を\(x\)で表せ。

(3)\(f(x)=x^3+3x\) の逆関数を \(g(x)\) とするとき、\(g'(0)\) を求めよ。

(解答)
(1)

\(y=g(x)=\sqrt[3]{x}\)・・・① より
\(x=y^3\)・・・②

②を\(y\)で微分して
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=3y^2\)

よって
\(g'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}=\displaystyle\frac{1}{3y^2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)　(①より)

(2)
\(x=y^2+2y+1\)・・・③　(\(y<-1\))

③を\(y\)で微分して
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=2y+2\)

よって
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}=\displaystyle\frac{1}{2y+2}\)

③より
\((y+1)^2=x\) で、\(y<-1\) だから
\(y+1=-\sqrt{x}\)
よって
\(y=-\sqrt{x}-1\)

したがって
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{2y+2}\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

(3)

\(f(x)=x^3+3x\) の逆関数の方程式は

\(x=y^3+3y\)・・・④

④を\(y\)で微分して
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=3y^2+3\)

よって
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{3y^2+3}\)・・・⑤

ここで④に\(x=0\)を代入すると
\(0=y^3+3y\)
\(0=y(y^2+3)\)

\(y^2+3>0\) だから
\(y=0\)

したがって⑤より
\(g'(0)=\displaystyle\frac{1}{0+3}\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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