微分可能と連続②

微分可能に関する例題です。

(例題1)
関数
\(\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \log x & ( x ≧1 ) \\ \displaystyle\frac{ax+b}{x+1} & ( x < 1 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)

が \(x=1\) で微分可能であるような\(a,b\)の値を求めよ。

(解答1)
\(\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \log x & ( x ≧1 ) \\ \displaystyle\frac{ax+b}{x+1} & ( x < 1 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)

\(x=1\) で微分可能なとき、\(x=1\) で連続だから
\(\displaystyle\lim_{x \to 1-0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1+0}f(x)=f(1)\)
よって
\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\log1\ (=f(1))\)

\(b=-a\)・・・①

また、\(x=1\) で微分可能だから
\(\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to +0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)

①も用いると、(左辺)は
\(\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a+ah+b}{h+2}-0}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{a}{h+2}\)

\(=\displaystyle\frac{a}{2}\)

(右辺)は
\(\displaystyle\lim_{h \to +0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to +0}\displaystyle\frac{\log(1+h)-0}{h}\)

\(=1\)

ゆえに
\(\displaystyle\frac{1}{2}a=1\)
\(a=2\)

①より \(b=-2\)

(解答2)

\(\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \log x & ( x ≧1 ) \\ \displaystyle\frac{ax+b}{x+1} & ( x < 1 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)

(解答1)と同様に、\(x=1\)で連続だから
\(b=-a\)・・・①

また
\(g(x)=\log x\)　(\(x>0\))
\(h(x)=\displaystyle\frac{ax-a}{x+1}\)　(\(x>0\))

とおくと、\(g(x),h(x)\) は \(x>0\) で微分可能だから
\(g'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

\(h'(x)=a\cdot(\displaystyle\frac{x-1}{x+1})’=a\cdot\displaystyle\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{2ax}{(x+1)^2}\)

\(f(x)\)は\(x=1\) で微分可能だから
\(\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to +0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)
よって
\(h'(1)=g'(1)\) となるから
\(\displaystyle\frac{2a}{4}=\displaystyle\frac{1}{1}\)
\(a=2\)

①より \(b=-2\)

(例題2)
関数\(f(x)\)が
\(\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} x^3\sin\displaystyle\frac{1}{x}+x\sin x & ( x ≠ 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)

で与えられている。\(f(x)\)は \(x=0\) で微分可能であることを示し、\(f'(0)\) を求めよ。

(解答)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{h^3\sin\displaystyle\frac{1}{h}+h\sin h-0}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}(h^2\sin\displaystyle\frac{1}{h}+\sin h)\)・・・①

ここで、\(-1≦\sin\displaystyle\frac{1}{h}≦1\) より
\(-h^2≦h^2\sin\displaystyle\frac{1}{h}≦h^2\)
はさみうちの原理から
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}h^2\sin\displaystyle\frac{1}{h}=0\)

よって①は
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}(h^2\sin\displaystyle\frac{1}{h}+\sin h)=0\)

したがって極限値が存在するので、\(f(x)\)は \(x=0\) で微分可能で
\(f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\)

\(=0\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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