三角関数の積分について見ていきます。
※三角関数の積分おさらい
まずは基本の
\(\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C\)
\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C\)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C\)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}dx=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)
は当然おさえておきます。次に三角関数の積分の解法のパターンとしては
②\(f(\sin x)\cos x\)、\(f(\cos x)(-\sin x)\)、\(f(\tan x)\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\)、\(f(\displaystyle\frac{1}{\tan x})(-\displaystyle\frac{1}{\sin^2x})\) の導関数が接触している形の積分は置換積分を利用する。
③無理式の場合は、半角の公式や \(1=\sin^2x+\cos^2x\) などを利用して根号を外す。
④特殊な置換 \(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)、\(t=\tan x\) を利用する。
⑤次数が高いものは漸化式を利用する。(ウォリス積分など)
⑥その他 \(\sin x\)と\(\cos x\)の変換や三角関数の合成などの各種公式を利用する。
(他にも部分積分を利用することもあります)
⑤の漸化式については別のところで扱うことにして、残りについて演習をしていきます。
(例題)
次の不定積分を求めよ。
(1-1)\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x\cos x}{2+\cos x}dx\)
(1-2)\(\displaystyle\int\sin4x\cos3xdx\)
(2-1)\(\displaystyle\int\sin^2xdx\)
(2-2)\(\displaystyle\int\sin^3xdx\)
(2-3)\(\displaystyle\int\sin^4xdx\)
(3-1)\(\displaystyle\int\tan xdx\)
(3-2)\(\displaystyle\int\tan^2 xdx\)
(3-3)\(\displaystyle\int\tan^3 xdx\)
(3-4)\(\displaystyle\int\tan^4 xdx\)
(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1-1)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x\cos x}{2+\cos x}dx\)
\(\cos x=t\) とおくと
\(-\sin xdx=dt\)
よって
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x\cos x}{2+\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int-\displaystyle\frac{t}{2+t}dt\)
\(=\displaystyle\int-\displaystyle\frac{t+2-2}{t+2}dt\)
\(=\displaystyle\int(-1+\displaystyle\frac{2}{t+2})dt\)
\(=-t+2\log|t+2|+C\)
\(=-\cos x+2\log(\cos x+2)+C\)
(1-2)
(積和を使って積を解消します)
\(\displaystyle\int\sin4x\cos3xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}(\sin7x+\sin x)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(-\displaystyle\frac{1}{7}\cos 7x-\cos x)+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{14}\cos 7x-\displaystyle\frac{1}{2}\cos x+C\)
(2-1)
奇数乗の場合は、(\(\sin^{2k}x\sin x=(\cos^2x の整式)\sin x\)) となり導関数が掛けられている形になるので、置換積分をします。
偶数乗の場合は、半角の公式を利用して2乗を解消していきます。
なお、次数が高い場合には漸化式を利用していくことになります。
\(\displaystyle\int\sin^2xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin2x+C\)
(2-2)
\(\displaystyle\int\sin^3xdx\)
\(=\displaystyle\int\sin^2x\sin xdx\)
\(=\displaystyle\int(1-\cos^2x)\sin xdx\)
(\(\cos x=t\) の置換をして)
\(=\displaystyle\int(1-t^2)(-1)dt\)
\(=\displaystyle\frac{t^3}{3}-t+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C\)
(別解)
3倍角の公式
\(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\) より
\(\sin^3x=\displaystyle\frac{1}{4}(3\sin x-\sin3x)\)
を利用してもよいです。積分結果は
\(\displaystyle\int\sin^3xdx=-\displaystyle\frac{3}{4}\cos x+\displaystyle\frac{1}{12}\cos 3x+C\)
となり見た目は異なりますが、変形すると同じになります。
(2-3)
\(\displaystyle\int\sin^4xdx\)
\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1-\cos2x}{2})^2dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int(1-2\cos 2x+\cos^22x)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int(1-2\cos 2x+\displaystyle\frac{1+\cos4x}{2})dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int(\frac{3}{2}-2\cos2x+\displaystyle\frac{\cos4x}{2})dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}(\displaystyle\frac{3}{2}x-\sin2x+\displaystyle\frac{1}{8}\sin4x)+C\)
\(=\displaystyle\frac{3}{8}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin2x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin4x+C\)
(3-1)
\(\tan^2x\)の積分は、\(\tan^2x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1\) を利用すると一瞬でできます。
次に、\(\tan^n x\) (\(n≧3\)) の積分については、\(\tan^2x\)をつまみ出して、\(\tan^2x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1\) と変形すると、導関数接触型と次数下げに変形すると統一的に処理できます。
なお、こちらも次数が高い場合には漸化式を利用します。
\(\displaystyle\int\tan xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}dx\)
\(=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{-\sin x}{\cos x}dx\)
\(=-\log|\cos x|+C\)
(3-2)
\(\displaystyle\int\tan^2 xdx\)
\(=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)
\(=\tan x-x+C\)
(3-3)
\(\displaystyle\int\tan^3 xdx\)
\(=\displaystyle\int\tan x\tan^2xdx\)
\(=\displaystyle\int\tan x(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan x}{\cos^2x}dx-\displaystyle\int\tan xdx\)
(1項目は、\(\tan x\)の導関数が掛けられいることに着目して \(t\)(1次式)の積分。2項目は(3-1)と同じ)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\tan^2x+\log|\cos x|+Cdx\)
(別解)
\(\sin x\)や\(\cos x\)の奇数乗のときと同様に
\(\displaystyle\int\tan^3 xdx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^3x}{\cos^3x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^3x}\cdot\sin xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos^2x}{\cos^3x}\cdot\sin xdx\)
と導関数接触型にして、\(\cos x=t\) の置換をしてもよいです。
(3-4)
\(\displaystyle\int\tan^4 xdx\)
\(=\displaystyle\int\tan^2 x\tan^2xdx\)
\(=\displaystyle\int\tan^2 x(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan^2x}{\cos^2x}dx-\displaystyle\int\tan^2 xdx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan^2x}{\cos^2x}dx-\displaystyle\int(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)
(1項目は導関数接触型で、\(t^2\)の積分をして)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3x-\tan x+x+C\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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