陰関数と回転体

陰関数で表された曲線で囲む図形の回転体です。

(例題1)
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)  (\(a,b\)は正の数)
で囲まれた図形を\(x\)軸まわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

(解答)

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) より
\(y^2=b^2(1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2})\)

よって体積\(V\)は
\(V=π\displaystyle\int_{-a}^{a}b^2(1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2})dx\)

(偶関数の定積分。結局第1象限の部分だけを考えればよいことになる)

\(=2π\displaystyle\int_{0}^{a}b^2(1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2})dx\)

\(=2πb^2\left[x-\displaystyle\frac{x^3}{3a^2}\right]_{0}^{a}\)

\(=\displaystyle\frac{4}{3}πab^2\)

(例題2)
\(x^4+y^2=x^2\)  で表される曲線を\(C\)とする。

(1)\(C\)のグラフの概形をかけ。
(2)\(C\)で囲まれる図形を\(x\)軸周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3)\(C\)で囲まれる図形を\(y\)軸周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。

(解答)
(1)

\(x^4+y^2=x^2\)・・・①

点\((a,b)\) が①のグラフ上にあるとすると、\(a^4+b^2=a^2\)・・・②
すると\((-a,b)\)、\((a,-b)\)を①に代入すると②を満たすので、①のグラフは\(x,y\)軸について対称になる。

よって、\(x,y≧0\) について考えてグラフを折り返せばよい。
①より
\(y=\sqrt{x^2-x^4}\) であり、定義域は \(x^2(1-x^2)≧0\) より
\(0≦x≦1\)

\(f(x)=x^2-x^4\) とおくと
\(f'(x)=2x-4x^3=2x(1-2x^2)\) より
\(0≦x≦\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) で単調増加
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}≦x≦1\) で単調減少
極大値は \(f(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})=\displaystyle\frac{1}{4}\)

以上からグラフの概形は次のようになる。

(2)

\(x^4+y^2=x^2\)・・・① より
\(y^2=x^2-x^4\)

グラフは\(x,y\)軸について対称なので求める体積\(V\)は
\(V=2\displaystyle\int_{0}^{1}πy^2dx\)
\(=2π\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2-x^4)dx\)
\(=2π\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1}\)

\(=\displaystyle\frac{4}{15}π\)

(3)

\(x^4+y^2=x^2\)・・・①　より
\(x^4-x^2+y^2=0\)
\(x^2\)の2次方程式とみると、解の公式より
\(x^2=\displaystyle\frac{1±\sqrt{1-4y^2}}{2}\)・・・②

グラフは\(x,y\)軸について対称だから、\(x,y≧0\)の場合を考えて2倍すればよく、図の\(x_1,x_2\)の2乗はそれぞれ②の\(-,+\)に対応するから、体積\(V\)は

\(V=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}π(x_2^2-x_1^2)dy\)

\(=2π\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\displaystyle\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}-\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2})dy\)

\(=2π\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-4y^2}dy\)

(円の面積に帰着させる。三角関数で置換してもよい)

\(=2π\cdot2\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}-y^2}dy\)

(半径\(\frac{1}{2}\)の四分円)

\(=4π\cdot\displaystyle\frac{1}{4}\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^2π\)

\(=\displaystyle\frac{π^2}{4}\)

(参考)
\(x^4+y^2=x^2\)・・・①

(3)より
\(x^2=\displaystyle\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}\)・・・(i)
\(x^2=\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}\)・・・(ii)

でしたが、どちらも平方根をとり \(x=\cdots\) の形にすると
\(x=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}}\)・・・(i-a)
\(x=-\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}}\)・・・(i-b)

\(x=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}}\)・・・(ii-a)
\(x=-\sqrt{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}}\)・・・(ii-b)
となるので、曲線①は\(y\)の関数で表すと全部で4種類になります。

なお、\(x\)の関数とみると
\(y=±\sqrt{x^2-x^4}\)
なので、全部で2種類です。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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