微分方程式の解き方について見ていきます。
・微分方程式
\(x\)の関数である未知の関数 \(y\ (=f(x))\) について\(y\)の導関数を含む等式を微分方程式といい、微分方程式を満たす関数\(y\)を求めることを微分方程式を解くといい、その\(y\)を微分方程式の解とよびます。微分方程式はさまざまな形がありその解法も多様ですが、高校数学で理解できて最低限必要な2パターンについて見ていきます。
①直接積分型
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=g(x)\) のように文字\(x\)のみが方程式に含まれている場合は、単純に積分するだけで解くことができます。
(例)\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\)
両辺\(x\)で積分(不定積分)すると
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+C\)
積分変数\(C\)の分だけ関数\(y\)が存在するため、一般的には微分方程式の解は無数に存在することになります。ここで、もし \((x,y)=(0,0)\) のような条件が加わると上記の例だと \(C=0\) と定まり\(y\)も1つに定まることになります。
②変数分離型
\(h(y)\displaystyle\frac{dy}{dx}=g(x)\) のように、\(x\)のみの式と\(y\)のみの式を両辺に分離できる場合には、置換積分を利用して解くことができます。
(例)\(\displaystyle\frac{1}{y}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}=x^2\)
両辺を\(x\)で積分すると
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{y}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}dx=\displaystyle\int x^2dx\)
左辺は置換積分により
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{y}dy=\displaystyle\int x^2dx\)
(どちらも積分定数が出てくるが、移項して1つにまとめると)
\(\log |y|=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+C’\)
\(|y|=e^{\frac{1}{3}x^3+C’}\)
\(y=±e^{C’}\cdot e^{\frac{1}{3}x^3}\)
改めて定数を \(±e^{C’}=C\ (≠0)\) とおくと
\(y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}\) (\(C≠0\))
これを次のように形式的に処理することもできます。
\(\displaystyle\frac{1}{y}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}=x^2\) の両辺に\(dx\)を掛けて
\(\displaystyle\frac{1}{y} dy=x^2dx\)
インテグラルをつけて
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{y} dy=\displaystyle\int x^2dx\)
(以下同様)
(例題)
次の等式を満たす\(x\)の関数\(y\)を求めよ。
(1)\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\sin x\) (\(x=0\) のとき \(y=0\))
(2)\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=xe^{y}\) (\(x=0\) のとき \(y=1\))
(解答)
(1)(直接積分型)
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\sin x\)
\(x\)で積分すると
\(y=\cos x+C\)
\((x,y)=(0,0)\) を代入して
\(0=1+C\)
\(C=-1\)
よって
\(y=\cos x-1\)
(2)(変数分離型)
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=xe^{y}\)
\(e^{y}≠0\) より
\(\displaystyle\frac{1}{e^{y}}\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\)
両辺\(x\)で積分すると
\(-e^{-y}=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+C\)
\((x,y)=(0,1)\) を代入して
\(-\displaystyle\frac{1}{e}=C\)
よって
\(e^{-y}=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{e}\)
両辺自然対数をとって ((右辺>0) が定義域になる)
\(-y=\log(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{e})\)
したがって
\(y=-\log(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{e})\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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