表面積(側面積) | 教えて数学理科

積分を利用して表面積(側面積)を求める例題です。

座標軸の設定や、何が積分変数なのかがポイントです。

(例題)
半径\(1\)の円柱を、底面の直径を含み底面と角\(α\) (\(0<α<\displaystyle\frac{π}{2}\)) をなす平面で切ってできる小さい方の立体を考える。ただし、円柱の高さは\(\tanα\)以上であるとする。次の問いに答えよ。

(1)切り口の面積\(S_1\)を求めよ。
(2)この立体の側面(円柱面の一部)の面積\(S_2\)を求めよ。

座標軸の設定は、底面の直径と平面の交線が座標軸になるようにすればよいでしょう。
円柱の高さが\(\tanα\)以上なので、上面(円)と平面は交わりません。よって場合分けなどは必要ありません。

(解答)
(1)

角\(α\)をなす平面上で処理します(\(xy\)平面のように扱えばよい)。
横軸は\(x\)軸なので、あとは高さを求めて\(x\)で積分するだけです。
なお、正射影に着目すれば一瞬で答えが出ます。

表面積積分1

図のように\(xyz\)空間を設定する。
切断面を含む平面において\(O\)を通り\(x\)軸に垂直に\(Y\)軸をとる。
\(x\)軸に垂直な平面のうち\(x\)座標が\(x\)であるものを考えると、図の\(AH\)は底面の円の方程式が \(x^2+y^2=1\) より
\(AH=y=\sqrt{1-x^2}\)
よって
\(AP=\displaystyle\frac{\sqrt{1-x^2}}{\cos α}\ (=f(x))\)

したがって断面積は
\(S_1=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{\cosα}\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)

(半円の面積より)

\(=\displaystyle\frac{1}{\cosα}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1^2π\)

\(=\displaystyle\frac{π}{2\cosα}\)

(参考)正射影

表面積積分2

断面の曲線部分は、円柱の側面と角\(α\)平面の共通部分なので、断面の曲線部分の\(xy\)平面への影(正射影)は底面の円周(半円周)になる。したがって断面の正射影は底面の半円になるから
\(S_1\cosα=\displaystyle\frac{π}{2}\) より
\(S_1=\displaystyle\frac{π}{2\cosα}\)

(2)

こちらも原則通り高さにあたる\(PH\)を求めて積分をすることになりますが、積分する方向が円周(曲線)になっているので厄介です。そこで側面を引っ張って平面にすることで処理します。円周に沿う方向が積分する方向になるので、円弧を単純な変数にしたいです。すると弧度法だと (半径)×(θ) が円弧になることに着目して、中心角\(θ\)を導入することを考えます。

表面積積分3

図のように底面の半円周上に \(H(\cosθ,\sinθ,0)\) (\(0≦θ≦π\)) をとる。
図より \(PH=\sinθ\tanα\)
また、\(\stackrel{\huge\frown}{BH}=1\cdotθ=θ\)

よって側面を引き延ばして平面上にのせると、側面積は
\(S_2=\displaystyle\int_{0}^{π}\sinθ\tanαdθ\)・・・(注)

\(=\tanα[-\cosθ]_{0}^{π}\)

\(=2\tanα\)

(注)
この例題だと円弧が\(θ\)になるのでそのまま\(θ\)で積分が可能です。
これが例えば底面の円の半径が\(2\)だと、\(\stackrel{\huge\frown}{BH}=2θ\) となるので \(X=2θ\) の置換が必要で
\(S=\displaystyle\int PHdX=\displaystyle\int PH\cdot2dθ\)
となり調整用の項がつきます。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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