2次曲線の定義を利用した軌跡の方程式を求める問題です。
(例題1)
座標平面の第1象限または第4象限に中心をもち、円 \(x^2-2x+y^2=0\) に外接し、\(y\)軸にも接する円の中心\(P\)の軌跡を\(C\)とする。曲線\(C\)の方程式を求めよ。
(解答)
円 \(x^2-2x+y^2=0\) は
\((x-1)^2+y^2=1\)
図のように点や円の半径\(r\)を設定すると、条件より
\(PA=r+1\)、\(PL=r\)
となるから
\(PL+1=PA\)・・・①
(\(+1\)が無くなるように\(H\)を設定します)
ここで、\(P\)から 直線 \(x=-1\) に下ろした垂線の足を\(H\)とすると
\(PH=PL+1\)・・・②
①②より
\(PH=PA\)
よって、点\(P\)は焦点を\(A(1,0)\)、準線を \(x=-1\) とする放物線を描くから、求める軌跡の方程式は
\(y^2=4x\)・・・③
ただし、円の中心\(P\)は第1象限または第4象限にあるので、③上の点\((0,0)\)は除かれる。
なお 円 \(x^2-2x+y^2=0\) は \(y\)軸に接しているので\(P\)が原点にあるとき、半径\(r\)が\(0\)になってしまうので、円が存在しないことからも除外されることは分かります。(\(PH=PA\)は成り立っている)
(例題2)
\(xy\)平面上に原点\(O\)を中心とする半径\(5\)の円\(C\)と点\(A(3,0)\)がある。\(A\)を通り、\(C\)に内接する円\(C_1\)の中心\(P\)が描く曲線の方程式を求めよ。
(解答)
2円の接点を\(T\)、円\(C_1\)の半径を\(r\)とする。
\(PO=5-r\)、\(PA=r\) だから
(\(r\)を消去するように考えて)
\(PO+PA=5\)
よって\(P\)は \((0,0),(3,0)\) を焦点とする距離の和が\(5\)である楕円を描く。
この楕円を\(x\)軸方向に\(-\displaystyle\frac{3}{2}\)だけ平行移動した楕円の焦点は\((-\displaystyle\frac{3}{2},0),(\displaystyle\frac{3}{2},0)\) であり、その方程式は
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) (\(a>b>0\))
と表される。
\(2a=5\) より \(a=\displaystyle\frac{5}{2}\)
また、\(b=\sqrt{(\displaystyle\frac{5}{2})^2-(\displaystyle\frac{3}{2})^2}=2\)
ゆえに平行移動後の楕円の方程式は
\(\displaystyle\frac{4x^2}{25}+\displaystyle\frac{y^2}{4}=1\)
したがって求める曲線の方程式は、\(x\)軸方向に\(\displaystyle\frac{3}{2}\)だけ平行移動させて元に戻すことにより次のようになる。
\(\displaystyle\frac{4(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2}{25}+\displaystyle\frac{y^2}{4}=1\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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