母比率の推定方法について見ていきます。
・母比率の推定
母平均の推定と同様の方法で、母比率も推定することができます。
母集団のうち性質\(A\)をもつ割合つまり母比率を\(p\)とし、母集団から大きさ\(n\)の標本を抽出します。抽出した標本のうち性質\(A\)をもつ割合つまり標本比率を\(R\)とすると、\(n\)が十分大きい場合には\(R\)は近似的に正規分布 \(N\left(p,\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}\right)\) に従うのでした。
よって
\(Z=\displaystyle\frac{R-p}{\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}}\)
は標準正規分布に従います。
ゆえに信頼度を\(95％\)に設定すると、\(P(-1.96≦Z≦1.96)=0.95\) より
\(P\left(-1.96≦\displaystyle\frac{R-p}{\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}}≦1.96\right)=0.95\)
括弧内の不等式を\(p\)について整理すれば完了ですが、ルートが含まれていて2乗などをして整理していくと大変になってしまいます。そこで次のように変形して近似(大数の法則)を利用して整理していきます。
\(P\left(-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}≦R-p≦1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95\)
\(P\left(-R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}≦-p≦-R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95\)
\(P\left(R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}≦p≦R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95\)
ここで\(n\)が十分大きいとき大数の法則より、標本比率\(R\)は母比率\(p\)に近いとみなすことができて、左辺と右辺の\(p\)を\(R\)に変えると(中辺まで\(R\)に変えると意味が無くなってしまうので中辺はそのままにする)
\(P\left(R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}≦p≦R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}\right)=0.95\)
したがって母比率\(p\)に対する信頼度\(95％\)の信頼区間は次のようになります。
\(R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}≦p≦R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}\)
信頼度を\(99％\)にしたい場合は、\(1.96 \to 2.58\) とするだけです。
(例題)
ある都市の世論調査において、無作為に\(400\)人の有権者を選び、ある政策に対する賛否を調べたところ、\(320\)人が賛成であった。この都市の有権者全体のうち、この政策の賛成者の母比率\(p\)に対する信頼度\(95％\)の信頼区間を求めよ。(標本の大きさ\(400\)は十分に大きいとして近似を利用してよい)
(解答)
標本比率を\(R\)とすると、信頼区間は
\(R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}≦p≦R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}\)
よって
\(n=400\)
\(R=\displaystyle\frac{320}{400}=\displaystyle\frac{4}{5}\) だから
\(\displaystyle\frac{4}{5}-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{1}{5}}{400}}≦p≦\displaystyle\frac{4}{5}+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{1}{5}}{n}}\)
\(\displaystyle\frac{4}{5}-1.96\cdot\displaystyle\frac{1}{50}≦p≦\displaystyle\frac{4}{5}+1.96\cdot\displaystyle\frac{1}{50}\)
\(0.8-1.96\cdot0.02≦p≦0.8+1.96\cdot0.02\)
\(0.7608≦p≦0.8392\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうざいました。
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