四面体の体積 | 教えて数学理科

今回は、正四面体ではない四面体の体積について考えていきます。正四面体ではないですが、特徴のある四面体を扱っていきます。

(例題1)
四面体\(ABCD\)において、\(AB=3,BC=\sqrt{13},CA=4,DA=DB=DC=3\) とし、頂点\(D\)から\(△ABC\)に垂線\(DH\)を下ろす。このとき線分\(DH\)の長さと四面体\(ABCD\)の体積を求めよ。

\(DA=DB=DC\)に着目します。正四面体の場合と同じように、\(△DAH≡△DBH≡△DCH\)　から\(H\)は\(△ABC\)の外接円の中心になります。

(解答)

\(△DAH,△DBH,△DCH\) は角\(H\)が直角の直角三角形で、\(DA=DB=DC\)、\(DH\)が共通な辺だから、\(△DAH≡△DBH≡△DCH\)。よって、\(AH=BH=CH\)となり、\(H\)が\(△ABC\)の外接円の中心である。

また

\(\cos \angle BAC=\displaystyle\frac{3^2+4^2-(\sqrt{13})^2}{2・3・4}=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(0°<\angle BAC<180°\) だから、\(\angle BAC=60°\)である。
よって、\(△ABC\)の外接円の半径を\(R\)とすると正弦定理より

\(2R=\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{\sin60°}\) だから
\(R=AH=\sqrt{\displaystyle\frac{13}{3}}\)

したがって、\(△DAH\)で三平方の定理より
\(DH=\sqrt{3^2-(\displaystyle\frac{13}{3})^2}=\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{42}}{3}\)

ゆえに、四面体\(ABCD\)の体積\(V\)は
\(V=\displaystyle\frac{1}{3}・△ABC・DH\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}・(\displaystyle\frac{1}{2}・3・4・\sin60°)・\displaystyle\frac{\sqrt{42}}{3}\)
\(=\sqrt{14}\)

(例題2)
四面体\(OABC\)は、
\(\angle BOC=\angle COA=\angle AOB=90°,OA=2,OB=\sqrt{2},OC=2\sqrt{2}\)　である。

(1)この四面体の体積を求めよ。
(2)点\(O\)と平面\(ABC\)との距離を求めよ。

とりあえず図示してみます。\(\angle BOC=\angle COA=\angle AOB=90°\)だから、3つの面は直角三角形になります。

(解答)
(1)

三角形\(OBC\)を底面とすると、\(OA\)は平面\(OBC\)に垂直なので\(OA\)が四面体の高さとなる。
よって求める体積\(V\)は
\(V=\displaystyle\frac{1}{3}・△OBC・OA\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}・2・2\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{4}{3}\)

(2)

点\(O\)と平面\(ABC\)との距離とは、\(O\)から平面\(ABC\)に下ろした垂線を\(OH\)とすると、\(OH\)の長さのことです。つまり\(ABC\)を底面とした四面体の高さになりますが、図形的に求めるのは大変そうなので(1)で求めた体積と\(△ABC\)の面積から方程式を作り計算します。

点\(O\)と平面\(ABC\)との距離を\(d\)とすると、\(d\)は底面を\(△ABC\)としたときの四面体の高さなので
\(V=\displaystyle\frac{1}{3}・△ABC・h\)・・・①

三平方の定理より、
\(AB=\sqrt{6},BC=\sqrt{10},CA=2\sqrt{3}\) であり、
\(△ABC\)において余弦定理より
\(\cos A=\displaystyle\frac{(\sqrt{6})^2+(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{10})^2}{2・\sqrt{6}・2\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(0°<A<180°\) だから、\(\sin A=\sqrt{1-(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3})^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\)
よって
\(△ABC=\displaystyle\frac{1}{2}・\sqrt{6}・2\sqrt{3}・\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}=\sqrt{14}\)

したがって、①と(1)の結果から
\(\displaystyle\frac{4}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}・\sqrt{14}・h\)
\(h=\displaystyle\frac{2\sqrt{14}}{7}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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