問題文の条件から方程式や不等式を立式して、未知数を求める問題について見ていきます。
(例題)
赤玉と白玉合わせて10個の玉が入っている袋がある。袋の中の赤玉の個数を\(n\)とする。この袋から2個の玉を同時に取り出す。
(1)赤玉が2個出る確率と、赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が等しいとき、\(n\)の値を求めよ。ただし \(n≧2\) とする。
(2)赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が\(\displaystyle\frac{1}{3}\)以上になる\(n\)の範囲を求めよ。
(解答)
(1)
白玉が1個以上ないと、赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が0になってしまうので、
\(10-n≧1\) より \(n≦9\) です。
\(10-n≧1\) より \(n≦9\)
よって、\(2≦n≦9\)・・・①
また、起こりうるすべての場合の数は、\({}_{10}\mathrm{C}_2=45\) 通り だから
条件より
\(\displaystyle\frac{{}_n\mathrm{C}_2}{45}=\displaystyle\frac{{}_n\mathrm{C}_1×{}_{10-n}\mathrm{C}_1}{45}\)・・・②
\(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=n(10-n)\)
\(3n^2-21n=0\)
\(n(n-7)=0\) だから
\(n=0,7\)
(2)
赤玉が\(n\)個なので、白玉は\(10-n\)個。条件より赤玉と白玉は1個以上あるので、
\(n≧1\) かつ \(10-n≧1\) よって \(1≦n≦9\)・・・③
また条件より
\(\displaystyle\frac{{}_n\mathrm{C}_1×{}_{10-n}\mathrm{C}_1}{45}≧\displaystyle\frac{1}{3}\)・・・④
④を解くと
\(\displaystyle\frac{n(10-n)}{45}≧\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(n^2-10n+15≦0\) だから
\(5-\sqrt{10}≦n≦5+\sqrt{10}\)
\(\sqrt{10}=\sqrt{2}×\sqrt{5}≒1.4×2.2≒3.1\) より \(n\)は自然数だから
\(2≦n≦8\)
これは③を満たす。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。