確率の乗法定理 | 教えて数学理科

確率の乗法定理について学んでいきます。

・乗法定理
条件付き確率の式

\(P_A(B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

の両辺に\(P(A)\)をかけると次の確率の乗法定理が得られます。

\(P(A \cap B)=P(A)×P_A(B)\)

(確率の乗法定理)
\(P(A \cap B)=P(A)×P_A(B)\)　

\(P(A \cap B)\)、つまり「Aが起こるかつ Bも起こる確率」は、単純に \(P(A)\) と \(P(B)\) の積とはなりません。\(P(A)\) と条件付き確率 \(P_A(B)\) の積を考えてください。
独立試行では、条件付き確率を考えず単純に積をとりましたが、これは確率の乗法定理のうちの特別な場合です。(\(P_A(B)=P(B)\) となり、Aが起こることがBの起こる確率に何も影響がないケースです)

乗法定理　\(P(A \cap B)=P(A)×P_A(B)\)　は、\(P_A(B)\)が明確に分かって計算できる場合に、\(P(A)\)との積をとるだけで、\(P(A \cap B)\)を求めることができる便利な式となっています。
袋から球を取り出して元に戻さないとか、くじを引いて元に戻さないなどといった試行で役に立ちます。

・乗法定理(3つ以上の事象について)
事象A,B,Cについて次の乗法定理が成り立ちます。

\(P(A \cap B \cap C)=P(A)P_A(B)P_{A \cap B}(C)\)　

(証明)
\(P_{A \cap B}(C)=\displaystyle\frac{n(A \cap B \cap C)}{n(A \cap B)}\)

右辺の分母分子を\(n(U)\)で割ると

\(P_{A \cap B}(C)=\displaystyle\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)}\)

両辺に\(P(A \cap B)\)をかけて、\(P(A \cap B)\)\(=P(A)P_A(B)\)を代入すると式が得られる。

・一般に事象A,B,C,D・・・について

\(P(A \cap B \cap C \cap D・・・)\)\(=P(A)P_{A}(B)P_{A \cap B}(C)P_{A \cap B \cap C}(D)・・・\)

が成り立ちます。

結局は、まずAが起こる確率を考えて、次にAが起きたときのBの確率、その次にAとBが起きたときのCの確率、さらに・・・と順番に考えていって積をとればよいということです。

(例題)
10本のくじの中に当たりくじが3本ある。一度ひいたくじはもとに戻さないとして、次の確率を求めよ。
(1)はじめAが1本引き、次にBが1本引く場合
(ア)Aが当たる確率
(イ)A,Bともに当たる確率
(ウ)Aははずれて、Bは当たる確率
(エ)Bが当たる確率

(2)A,B,Cの順に1本ずつ引くとき
(ア)Aがはずれ、B,Cは当たる確率
(イ)A,B,C 3人のうち1人だけが当たる確率

(解答)
(1)
(ア)\(\displaystyle\frac{3}{10}\)

(イ)

Aが当たる確率は(ア)で計算しました。
求めるものは「Aが当たるかつ　Bが当たる」確率なので、条件付き確率である「Aが当たったときの、Bが当たる確率」を計算します。Aが当たったときには、くじは全部で9本残っていて、そのうち当たりは2本です。

Aが当たったときには、Bは9本のくじ(当たりは2本)の中から1本引くので、乗法定理により
\(\displaystyle\frac{3}{10}×\displaystyle\frac{2}{9}=\)\(\displaystyle\frac{1}{15}\)

(ウ)
Aがはずれる確率は、\(\displaystyle\frac{7}{10}\)
Aがはずれたときに、Bは9本のくじ(当たりは3本)から1本引くので、乗法定理により
\(\displaystyle\frac{7}{10}×\displaystyle\frac{3}{9}=\)\(\displaystyle\frac{7}{30}\)

(エ)

Bが当たる場合は、
①Aが当たり、Bも当たる　②Aははずれ、Bは当たる
の2パターンです。①②は排反で、①②の確率は(イ)(ウ)で求めました。

Bが当たる確率は、(イ)と(ウ)の場合でこれらは排反なので
\(\displaystyle\frac{1}{15}+\displaystyle\frac{7}{30}=\)\(\displaystyle\frac{3}{10}\)

(ア)と(エ)の確率は同じで、\(\displaystyle\frac{3}{10}\)です。
つまりA,Bの当たりを引く確率は同じで、くじを引く順番に関係なく当たる確率は同じになります。

(2)

同様に乗法定理((2)は3つの事象)を用いて計算します。

(ア)
Aがはずれる確率は、\(\displaystyle\frac{7}{10}\)
Aがはずれたとき、Bが当たる確率は、当たりくじ3本を含む9本から引くので、\(\displaystyle\frac{3}{9}\)
AがはずれBが当たったとき、Cが当たる確率は、当たりくじ2本を含む8本から引くので、\(\displaystyle\frac{2}{8}\)

よって、求める確率は
\(\displaystyle\frac{7}{10}・\displaystyle\frac{3}{9}・\displaystyle\frac{2}{8}=\)\(\displaystyle\frac{7}{120}\)

(イ)
①Aのみが当たる場合の確率は
\(\displaystyle\frac{3}{10}・\displaystyle\frac{7}{9}・\displaystyle\frac{6}{8}\)
②Bのみが当たる場合の確率は
\(\displaystyle\frac{7}{10}・\displaystyle\frac{3}{9}・\displaystyle\frac{6}{8}\)
③Cのみが当たる場合の確率は
\(\displaystyle\frac{7}{10}・\displaystyle\frac{6}{9}・\displaystyle\frac{3}{8}\)

①～③は同じ値なので
\(3×\displaystyle\frac{3}{10}・\displaystyle\frac{7}{9}・\displaystyle\frac{6}{8}=\)\(\displaystyle\frac{21}{40}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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