ax+byで表される数 | 教えて数学理科

次の問題について考えます。

(例題)
どんな正の整数\(a,b\)をとっても、\(5a+3b\)で表せない正の整数は何個あるか。

\(5a\)に着目すると、\(5a\)は\(a\)が偶数の値をとることで、\(10,20,30・・・\)の値をとることができます。よって例えば\(b=1\)とすると、\(3b=3\)なので、\(13,23,33・・・\)と一の位が\(3\)の数を表すことができます。他の下一桁の数字も出揃うことができれば、ある数字より大きいものは\(5a+3b\)で表すことができそうです。\(3\)の倍数を考えて、一の位を全部出揃うようにしてみます。

(解答)
\(k\)を\(k≧1\) の整数として、\(a=2k\)とすると
\(5(2k)+3b=3b+10k\)

よって、\(b=1,2,3・・・10\)とすると、\(5a+3b\)で表すことができる数字には
\(13,23,33・・・\)
\(16,26,36・・・\)
\(19,29,39・・・\)
\(22,32,42・・・\)
\(25,35,45・・・\)
\(28,38,48・・・\)
\(31,41,51・・・\)
\(34,44,54・・・\)
\(37,47,57・・・\)
\(40,50,60・・・\)
があり、それぞれ一の位は\(0～9\)であるので、\(31\)以上の数は表せる。

また、最小の数は、\(a=b=1\)より \(5+3=8\)なので、\(1～7\)までの数字は表せない。

\(9\)以上\(30\)以下の整数については上の書き出したものも考慮して、表せないものは×、表せるものは〇とすると

\(9\)(×), \(10\)(×), \(11\)(〇\(5+3×2\)),\(12\)(×),\(13\)(〇),\(14\)(〇\(5+3×3\)),\(15\)(×),\(16\)(○),\(17\)(○\(5+3×4\)),\(18\)(○\(5×3+3\)),\(19\)(○),\(20\)(○ \(5+3×5\)),\(21\)(○\(5×3+6\)),\(22\)(○),\(23\)(○),\(24\)(○\(5×3+3×3\)),\(25\)(○),\(26\)(○),\(27\)(○ \(5×3+3×4\)),\(28\)(○),\(29\)(○),\(30\)(○\(5×3+3×5\))

以上より、表せない数は
\(1,2,3,4,5\)\(,6,7,9,10\)\(,12,15\)の
合計\(11\)個

ちなみに、\(a,b\)がただの整数という条件だと、任意の整数を表すことができます。\(5,3\)が互いに素であるから \(5a’+3b’=1\) となる整数\(a’,b’\)が存在し、両辺\(c\)倍(整数倍)すると、\(5(a’c)+3(b’c)=c\) であり、\(a’c,b’c\)は整数なので、任意の整数\(c\)について、\(5a+3b=c\) となる整数\(a,b\)が存在する、つまり任意の整数\(c\)をある整数\(a,b\)で表すことができることになります。

以上になります。お疲れさまでした。

ここまで見て頂きありがとうございました。

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