・\(n\)進法と桁数
まずは\(10\)進法について考えてみます。
\(4\)桁の自然数\(A\)について、\(4\)桁の自然数で最小のものは\(1000(=10^3)\)であり、\(5\)桁の自然数で最小のものは\(10000=(10^4)\) です。よって
\(10^3≦A<10^4\) (右側の不等号はイコールはつかない) が成り立ちます。
これを一般化すると、\(k\)桁の自然数\(B\)については
\(10^{k-1}≦B<10^{k}\)
が成り立ちます。左側の指数は\(k\)ではなく\(k-1\)であることに注意してください。
では\(n\)進法ではどうなるかというと、同様に考えて、\(n\)進法で表すと\(4\)桁の自然数\(C\)について、\(4\)桁の自然数で最小のものは\(1000_{(n)}=n^3\)、\(5桁\)の自然数で最小のものは\(10000_{(n)}=n^4\)であるので、
\(n^{3}≦C<n^4\) が成り立ちます。
これを一般化して、\(n\)進法で表すと\(k\)桁の自然数\(D\)については
\(n^{k-1}≦D<n^{k}\)
が成り立ちます。
\(1000_{(2)}=2^3\), \(10000_{(2)}=2^4\) なので、
\(2^3≦N<2^4\)
となります。
(例題1)
\(3\)進法で表したとき、\(5\)桁となる自然数\(N\)はいくつあるか。
(解答)
\(3^4≦N<3^5\) であり
この不等式を満たす\(N\)の個数は
\(3^5-3^4=243-81=162\)・・・①
答え \(162個\)
なお、\(3\)進数で表すと\(5\)桁の数は
\(1□□□□_{(3)}\) or \(2□□□□_{(3)}\) であり、\(□\)には \(0,1,2\) のどれかが入るので
\(2×3^4=162\)(個)と求めることもできます。
(例題2)
自然数のうち、\(10\)進法で表しても\(5\)進法で表しても、\(3\)桁になるものは全部で何個あるか。
(解答)
条件を満たす自然数を\(N\)とすると
\(10^2≦N<10^3\)・・・①
\(5^2≦N<5^3\)・・・②
①は \(100≦N<1000\)
②は \(25≦N<125\) であり
\(N\)は①②を両方満たすので
\(100≦N<125\)
よって求める個数は
\(125-100=\)\(25\)(個)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。