未知数の決定とn進法

 

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\(n\)進法に関する、方程式をたてて解く問題について見ていきます。

 

(例題1)
\(10\)進数\(38\)を\(n\)進法で表すと\(123_{(n)}\)になるとき、\(n\)の値を求めよ。

 

 

\(n\)進数の各位は\(n-1\)以下です。よって\(n\)は\(4\)以上の整数となります。

(解答)
\(n≧4\) である。

\(123_{(n)}\)を\(10\)進法で表すと
\(123_{(n)}=n^2+2n+3\) だから

\(n^2+2n+3=38\)
\(n^2+2n-35=0\)
\((n+7)(n-5)=0\) であり

\(n≧4\) より
\(n=5\)

 

 

(例題2)
自然数\(N\)を\(8\)進法と\(7\)進法で表すと、それぞれ3桁の数 \(abc_{(8)}\) と \(cba_{(7)}\) になるという。\(a,b,c\)の値を求めよ。また、\(N\)を\(10\)進法で表せ。

 

 

\(10\)進法に直して等式を立ててみます。\(a,b,c\)のとりうる範囲にも着目します。

\(7\)進数は各位は\(6\)以下であり、\(abc_{(8)}\) と \(cba_{(7)}\)は3桁の数なので、\(a≠0,c≠0\)。よって
\(1≦a≦6\),  \(0≦b≦6\),  \(1≦c≦6\) ・・・①

また、\(abc_{(8)}\) と \(cba_{(7)}\)を\(10\)進法で表すと
\(abc_{(8)}\)\(=a・8^2+b・8+c=64a+8b+c\)
\(cba_{(7)}\)\(=c・7^2+b・7+a=49c+7b+a\)

よって
\(64a+8b+c=49c+7b+a\)
\(63a+b-48c=0\)・・・②

②式から①の範囲内での解を求めます。
①の範囲はある程度限られたものですが、全部を検討するのは大変なので、もう少しだけ絞り込みます。
\(63\)と\(48\)がともに\(3\)の倍数であることに着目して、\(b=\) の式にしてみます。すると\(b\)が\(3\)の倍数であることが分かります。

②より
\(b=3(16c-21a)\)・・・③
よって\(b\)は\(3\)の倍数であり、①の範囲内では \(b=0,3,6\)

(ア)\(b=0\)のとき
③より、\(16c=21a\)
\(16\)と\(21\)は互いに素であるので、整数\(k\)を用いて
\(c=21k\) \(a=16k\)
①の範囲内にある \(a,c\)は存在しない。

(イ)\(b=3\)のとき
③より、\(16c-21a=1\)・・・④

 

\(1≦a≦6\) なので、すべて調べてもよいですが、
\(16c\)が偶数であることに着目して、右辺が奇数なので、\(21a\)は奇数であることが分かります。

ここで\(16c\)は偶数、\(1\)は奇数なので、\(21a\)は奇数。

よって\(a=1,3,5\) それぞれについて④に代入すると
\(16c=22,64,106\)
\(c\)が整数となるのは、\(16c=64\) のみで、このとき\(c=4\)であり①の範囲内。
\((a,b,c)=(3,3,4)\) は解となる。

(ウ)\(b=6\) のとき
③より \(16c-21a=2\)・・・⑤
\(16c\),\(2\)は偶数なので、\(21a\)は偶数となり、\(a=2,4,6\)
それぞれを⑤に代入して
\(16c=44,86,128\)
\(c\)が整数となるのは、\(16c=128\)であるが、\(c=8\)となり①の範囲内にないので不適。

 

以上より
\((a,b,c)=(3,3,4)\)

また、\(abc_{(8)}\)\(=64a+8b+c\) に代入して
\(N=\)\(220\)

 

 

 

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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