引き続き、整式・方程式と整数に関する問題について見ていきます。
(例題)
最高次の係数が\(1\)である、整数係数の\(n\)次方程式
\(x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}\)\(+・・・+a_1x+a_0=0\)
が有理数解\(α\)をもつとき
(1)\(α\)は整数であることを示せ。
(2)\(α\)は定数項\(a_0\)の約数であることを示せ。
(解答)
(1)
\(α=\displaystyle\frac{q}{p}\) (\(p,q\)は互いに素である整数、 \(p>0\))とする。
方程式に代入して
\((\displaystyle\frac{q}{p})^n+a_{n-1}(\displaystyle\frac{q}{p})^{n-1}+a_{n-2}(\displaystyle\frac{q}{p})^{n-2}\)\(+・・・+a_1\displaystyle\frac{q}{p}+a_0=0\)
両辺\(p^{n-1}\)倍して、移項すると
\(\displaystyle\frac{q^n}{p}=\)\(-(a_{n-1}q^{n-1}+a_{n-2}pq^{n-2}+・・・\)\(+a_1p^{n-2}q+a_0p^{n-1})\)
右辺は整数なので、左辺も整数。\(p,q\)は互いに素であり、\(p>0\)より
\(p=1\)
よって解\(α\)は整数である。
(2)
(1)より、解\(α\)は整数であるので、\(α=m\) (\(m\)は整数) とおける。
方程式に代入して
\(m^n+a_{n-1}m^{n-1}+a_{n-2}m^{n-2}\)\(+・・・+a_1m+a_0=0\)
\(a_0\)を移項して、\(m\)でくくると
\(m(m^{n-1}+a_{n-1}m^{n-2}\)\(+a_{n-2}m^{n-3}\)\(+・・・+a_1)=-a_0\)
左辺は\(m\)の倍数なので、右辺\(a_0\)も\(m\)の倍数。
よって、\(m\)は\(a_0\)の約数である。
定理のポイントは、①最高次の係数が\(1\) ②係数がすべて整数
です。有理数解をもつという条件つきなので、①②が成り立っていても有理数解をもたない場合もあります。(例:\(x^2+4x+2=0\) など)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。