数直線上の2点の距離と内分・外分

数直線上の2点間の距離と、2点の内分・外分点について学んでいきます。

・数直線上の2点間の距離
数直線上の点\(A(a)\)と原点\(O\)の間の距離を実数\(a\)の絶対値といい、\(|a|\)と表します。つまり
\(OA=|a|\)

\(a≧0\)のとき \(OA=a\)
\(a<0\)のとき \(OA=-a\) なので \(|a|\)は次のようになります。

\(|a|=a\) (\(a≧0\)),　\(|a|=-a\)　(\(a<0\))

また、数直線上の2点\(A(a)\),\(B(b)\)間の距離を考えると

\(b≧a\) (\(b-a≧0\))のとき \(AB=b-a\)
\(a>b\) (\(b-a<0\))のとき \(AB=a-b=-(b-a)\)
なので
\(AB=|b-a|\)

・数直線上の2点の内分点・外分点
以下\(m,n\)を正の数とします。

点\(P\)が線分\(AB\)上にあって
\(AP:PB=m:n\)
が成り立つとき、点\(P\)は\(AB\)を\(m:n\)の比に内分するといい、点\(P\)を内分点といいます。

では、数直線上の2点\(A(a)\),\(B(b)\)に対して、線分\(AB\)を\(m:n\)の比に内分する点\(P(x)\)の座標を求めてみると

\(b>a\) のとき
図より
\((x-a):(b-x)=m:n\)
\(n(x-a)=m(b-x)\)
\((m+n)x=na+mb\) だから

\(x=\displaystyle\frac{na+mb}{m+n}\)・・・①

また、\(a>b\)のときも同様にして同じ式が得られます。

特に、\(m=n=1\) のとき点\(P\)は線分\(AB\)の中点となりその座標は
\(x=\displaystyle\frac{a+b}{2}\) です。

次に外分点について考えていきます。

点\(Q\)が線分\(AB\)の延長線上にあって
\(AQ:QB=m:n\)
が成り立つとき、点\(Q\)は\(AB\)を\(m:n\)の比に外分するといい、点\(Q\)を外分点といいます。
\(m,n\)の大小により\(Q\)の位置が\(A\)側にあるのか\(B\)側にあるのかが変わります。また、\(Q\)は線分\(AB\)の延長線上の点なので、\(m=n\)となることはないため、\(m≠n\) となります。

数直線上での外分点の座標についても求めてみましょう。
数直線上の2点\(A(a)\),\(B(b)\)に対して、線分\(AB\)を\(m:n\)に外分する点\(Q\)の座標を\(x\)として
(ア)\(b>a\),　\(m>n\)のとき
図より
\((x-a):(x-b)=m:n\)
\(m(x-b)=n(x-a)\)
\((m-n)x=-na+mb\) なので

\(x=\displaystyle\frac{-na+mb}{m-n}\)・・・②

他に(イ)\(b>a\),\(m<n\)　 (ウ)\(a>b\),\(m>n\)　(エ)\(a>b\), \(m<n\)
の場合が考えられますが、これらのときも同じ式が得られます。

(例題)
数直線上において、2点\(A(a-1)\),\(B(a+2)\)を結ぶ線分\(AB\)を\(2:1\)の比に内分する点を\(C\)、外分する点を\(D\)とする。
(1)点\(C\)の座標が\(-1\)のときの\(a\)の値を求めよ。
(2)\(a\)が(1)で求めた値のとき、2点\(C,D\)間の距離を求めよ。

(解答)
(1)

\(C\)の座標が\(-1\)なので
\(-1=\displaystyle\frac{1\cdot(a-1)+2\cdot(a+2)}{2+1}\)
\(-3=a-1+2(a+2)\) だから
\(a=-2\)

(2)

\(A(-3)\),\(B(0)\) なので\(D\)の\(x\)座標は
\(x=\displaystyle\frac{-1\cdot(-3)+2\cdot0}{2-1}\)\(=3\)

よって
\(CD=|3-(-1)|=\)\(4\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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