三角関数の最大最小④(対称式型)

対称式である三角関数の最大最小問題について見ていきます。

(例題)1
\(0°≦θ<360°\) での
\((1+\sinθ)(1+\cosθ)\) の最大値、最小値を求めよ。

与式が対称式であることは意識しておいたほうがいいでしょう。

(解答)
\((1+\sinθ)(1+\cosθ)\)
\(=1+(\sinθ+\cosθ)+\sinθ\cosθ\)・・・①

\(\sinθ+\cosθ\)という1次の項があるので、倍角の公式を使ってもうまくいきません。
そこで、先ほども書きましたが、①は\(\sinθ\)と\(\cosθ\)を入れ替えても変わらないので対称式となっていることに着目します。対称式は基本対称式である、
\(\sinθ+\cosθ\)　,\(\sinθ\cosθ\)
の2つの式を使って表すことができ、\(\sinθ+\cosθ\)のほうを別の文字\(t\)とおくと、\(t^2\)と\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) によりもう一方の\(\sinθ\cosθ\) を\(t\)を用いて表すことができます。あとは置き換えたので\(t\)の範囲に注意します。
ちなみに、\(\sinθ\cosθ\)のほうを最初に\(t\)でおくと、\(\sinθ+\cosθ\)は平方根の形で表されるので避けた方がよいです。

ここで、
\(\sinθ+\cosθ=t\) とおくと

合成して
\(t=\sqrt{2}\sin(θ+45°)\) と、\(0°≦θ<360°\) より
\(-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}\)・・・②

また
\(t^2=\sin^2θ+\cos^2θ+2\sinθ\cosθ\) より
\(\sinθ\cosθ=\displaystyle\frac{1}{2}(t^2-1)\)

よって
\(1+(\sinθ+\cosθ)+\sinθ\cosθ\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}t^2+t+\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(t+1)^2\)

あとは2次関数の最大最小値を考えるだけです。そのときの\(t\)と、\(t=\sqrt{2}\sin(θ+45°)\) より\(θ\)の値も決定しておきます。

三角関数　最大最小 ④ 例題1

②の範囲から
最大値 \(t=\sqrt{2}\) のとき \(\displaystyle\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\)

このとき\(θ\)の値を求めると
\(\sqrt{2}=\sqrt{2}\sin(θ+45°)\)
\(45°≦θ+45°<405°\) だから
\(θ+45°=90°\)
\(θ=45°\)

最小値 \(t=-1\) のとき　\(0\)

このとき\(θ\)の値は
\(-1=\sqrt{2}\sin(θ+45°)\)
\(45°≦θ+45°<405°\) だから
\(θ+45°=225°,315°\)
\(θ=180°,270°\)

\(t\)による置き換えは、例題2のように問題文に指定されている場合もあります。
今回は練習のため指定の無いものを選びました。

(例題2)
実数\(a\)に対して、
\(y=2\sinθ\cosθ+a(\sinθ-\cosθ)\)
とする。

(1)\(x=\sinθ-\cosθ\) とおくとき、\(y\)を\(x\)で表せ。
(2)\(x\)のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)\(y\)の最大値を\(a\)の式で表せ。

\(y\)や\(x\)は対称式ではありませんが、問題の解き方としては対称式の場合と同じです。置き換えも指定されているので、流れに沿って解いていきます。

(解答)
(1)
\(x^2=\sin^2θ+\cos^2θ-2\sinθ\cosθ\) より
\(2\sinθ\cosθ=1-x^2\)

よって
\(y=1-x^2+ax\)
\(=-x^2+ax+1\)

(2)
合成すると
\(x\)\(=\sinθ-\cosθ\)
\(=\sqrt{2}\sin(θ-45°)\)

\(θ\)の範囲に制限がないので
\(-\sqrt{2}≦x≦\sqrt{2}\)

(3)
\(y\)\(=-x^2+ax+1\)
\(=-(x-\displaystyle\frac{a}{2})^2+\displaystyle\frac{a^2}{4}+1\)

軸が文字で表されていて動き、上に凸の2次関数の最大値なので、軸が\(-\sqrt{2}≦x≦\sqrt{2}\)の範囲にあるかないかで場合分けします。(範囲にない場合は左側と右側の2パターンあるので、全部で3パターン)

三角　最大最小 ④　例題2

軸は \(x=\displaystyle\frac{a}{2}\) なので

(ア)
\(\displaystyle\frac{a}{2}<-\sqrt{2}\)　 (\(a<-2\sqrt{2}\))　のとき
最大値は \(x=-\sqrt{2}\) のとき
\(y=-x^2+ax+1\)
\(=-2-\sqrt{2}a+1\)
\(=-\sqrt{2}a-1\)

(イ)
\(-\sqrt{2}≦\displaystyle\frac{a}{2}≦\sqrt{2}\)　(\(-2\sqrt{2}≦a≦2\sqrt{2}\))　のとき
最大値は　\(x=\displaystyle\frac{a}{2}\)　のとき
\(y=-(\displaystyle\frac{a}{2}-\displaystyle\frac{a}{2})^2+\displaystyle\frac{a^2}{4}+1\)
\(=\displaystyle\frac{a^2}{4}+1\)

(ウ)
\(\displaystyle\frac{a}{2}>\sqrt{2}\)　(\(a>2\sqrt{2}\))　のとき
最大値は \(x=\sqrt{2}\) のとき
\(y=-x^2+ax+1\)
\(=-2+\sqrt{2}a+1\)
\(=\sqrt{2}a-1\)

以上をまとめると最大値は

\(-\sqrt{2}a-1\)　(\(a<-2\sqrt{2}\))
\(\displaystyle\frac{a^2}{4}+1\)　(\(-2\sqrt{2}≦a≦2\sqrt{2}\))
\(\sqrt{2}a-1\)　(\(a>2\sqrt{2}\))

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→円の媒介変数表示　 back→三角関数の最大最小③(合成型)