三角関数の最大最小③(合成型)

合成を利用する、三角関数の最大最小値問題について見ていきます。

(例題1)
(1)\(0°≦θ≦50°\) とする。関数 \(f(θ)=\sin3θ+\sqrt{3}\cos3θ\) の最大値とそのときの\(θ\)の値を求めよ。また、\(f(θ)\)の最小値を求めよ。

(2)関数
\(f(x)=6\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+8\cos^2x\)
(\(0°≦x≦180°\)) の最大値と最小値、およびそのときの\(x\)の値を求めよ。

(解答)
(1)

角は\(3θ\)で同じなので、合成して種類を\(\sin\)に統一します。

\(f(θ)\)
\(=\sin3θ+\sqrt{3}\cos3θ\)
\(=2\sin(3θ+60°)\)

\(0°≦θ≦50°\)　より
\(60°≦3θ+60°≦210°\) だから

最大値は \(3θ+60°=90°\)
つまり \(θ=10°\) のとき　\(2\)

また 最小値は \(3θ+60°=210°\)
つまり \(θ=50°\) のとき　\(2\cdot(-\displaystyle\frac{1}{2})=\)\(-1\)

(2)

例えば \(\sin^2x=1-\cos^2x\) を使って1項目を変形してもうまくいきません。
これは2項目に \(\sin x\cos x\)の形があるためです。
よって別の公式である倍角(半角)の公式を使います。\(\cos^2x\) と\(\sin^2x\) は\(\cos2x\)の式、\(\sin x\cos x\)は\(\sin2x\)の式になるので、全体として\(2x\)の式になり合成が使える形になります。この問題のように\(\sin x\),\(\cos x\)の2次式(1次の項がない)は、\(2x\)の形に変形できます。

\(f(x)\)
\(=6\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+8\cos^2x\)

\(=6\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2x}{2}+\sqrt{3}\sin2x\)\(+8\cdot\displaystyle\frac{1+\cos2x}{2}\)

\(=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x+7\)

\(=2\sin(2x+30°)+7\)

ここで
\(0°≦x≦180°\) より
\(30°≦2x+30°≦390°\) だから

最大値 \(2x+30°=90°\)
つまり \(x=30°\) のとき　\(f(x)=2+7=\)\(9\)

最小値 \(2x+30°=270°\)
つまり \(x=120°\) のとき \(f(x)=-2+7=\)\(5\)

(例題2)
関数
\(f(x)=a\sin^2x+b\cos^2x+c\sin x\cos x\)
の最大値が\(2\),最小値が\(-1\)となる。このような\(a,b,c\) をすべて求めよ。ただし、\(a\)は整数、\(b,c\)は実数とする。

文字が多いので式が複雑になりますが、例題1(2)と同様に倍角(半角)の公式を利用して\(2x\)の式に統一して合成します。合成後の\(\sin(2x+α)\)の\(α\)は具体的には決定されませんが、\(x\)の範囲に制限がなく、\(\sin(2x+α)\)は\(-1\)から\(1\)まで全部の範囲をとるのであまり気にしなくて大丈夫です。それと、\(a\)だけ整数という強い条件があることも意識しておきます。

(解答)
\(f(x)\)

\(=a\sin^2x+b\cos^2x+c\sin x\cos x\)

\(=a\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2x}{2}+b\cdot\displaystyle\frac{1+\cos2x}{2}\)\(+\displaystyle\frac{c}{2}\sin2x\)

\(=\displaystyle\frac{c}{2}\sin2x+\displaystyle\frac{b-a}{2}\cos2x\)\(+\displaystyle\frac{a+b}{2}\)・・・①

\(=\sqrt{(\displaystyle\frac{c}{2})^2+(\displaystyle\frac{b-a}{2})^2}\sin(2x+α)\)\(+\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

(ただし\(c=0\) かつ \(b-a=0\)を除く)

係数が両方\(0\)になる、\(c=0\) かつ \(b-a=0\) のときは\(\cosα,\sinα\)の関係式の分母が\(0\)になってしまうのでこの場合は別に考えます。

ここで、 \(c=0\) かつ \(b-a=0\) とすると
①より \(f(x)\)が定数関数となるので条件に合わず不適。

よって以下それ以外について考える。

\(-1≦\sin(2x+α)≦1\) だから、\(f(x)\)の

(最大値)\(=\sqrt{(\displaystyle\frac{c}{2})^2+(\displaystyle\frac{b-a}{2})^2}+\displaystyle\frac{a+b}{2}\)\(=2\)・・・③

(最小値)\(=-\sqrt{(\displaystyle\frac{c}{2})^2+(\displaystyle\frac{b-a}{2})^2}+\displaystyle\frac{a+b}{2}\)\(=-1\)・・・④

あとは③④より\(a,b,c\)を決定するだけです。文字3つの式2つですが、\(a\)が整数という条件あるために値が求まります。

③+④ と ③－④　より

\(a+b=1\)・・・⑤
\(\sqrt{c^2+(b-a)^2}=3\)・・・⑥

⑥の両辺は正で \(c^2+(b-a)^2=9\)・・・⑦
⑤より \(b=1-a\) を⑦に代入して

\(c^2+(1-2a)^2=9\)・・・⑧

整数条件のある\(a\)を残すために\(b\)を消去しました。
⑧式の右辺は\(9\)で、\(c^2\)も\((1-2a)^2\)も\(0\)以上なので、ざっくりとですが\(a\)が大きすぎたり小さすぎると左辺が\(9\)を超えてしまうために\(a\)はある程度の範囲内におさまることが分かります。数式表現するなら移項して、\(c^2≧0\) となります。

\(c^2=9-(1-2a)^2\)・・・⑨

\(c\)は実数なので \(c≧0\) だから
\(9-(1-2a)^2≧0\)
\((1-2a)^2≦9\)
\(-3≦1-2a≦3\)
\(-1≦a≦2\)

\(a\)は整数だから
\(a=-1,0,1,2\)

⑤⑨より対応する\(b,c\)を求めると
\((a,b,c)=\)\((-1,2,0)\),\((0,1,±2\sqrt{2})\),\((1,0,±2\sqrt{2})\),\((2,-1,0)\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→三角関数の最大最小④(対称式型)　back→三角関数の最大最小②(2次関数型)