0を含む数字の中から何個か選んで、何桁かの数字を作る方法について考えていきます。最高位の数字が0でないことに注意します。
(例題)
5個の数字 \(0,1,2,3,4\) から異なる3個を選んで3桁の数字をつくる。
(1)全部で何個3桁の数字ができるか。
(2)偶数、奇数はそれぞれ何個できるか。
(3)9の倍数、4の倍数は何個できるか。
(解答)
(1)
百の位の選び方は、\(0\)以外の4通り。
十と一の位は、百の位で選んだ数字以外の4個(0も含む)から2個とる順列を考えると
\(4×{}_4\mathrm{P}_2=4・4・3=\)\(48\)(個)
(2)
偶数は、一の位に0を使うかどうかで場合分けが必要になります。(後述参照)
なので、先に奇数の個数を求めて(1)の個数から奇数の個数を引いて偶数の個数を求めてみます。
なので、先に奇数の個数を求めて(1)の個数から奇数の個数を引いて偶数の個数を求めてみます。
奇数は、一の位が\(1,3\)の2通りあり、百の位は一の位で使った数字と\(0\)を除いた3通り。十の位は一と百の位で使った数字合計2個を除いた3通り。
よって、\(2×3×3=\)\(18\)(個)
よって、\(2×3×3=\)\(18\)(個)
偶数の個数は(1)を用いて \(48-18=\)\(30\)(個)
偶数の個数を直接求める場合、百の位に0を使えないので、一の位に\(0\)を使うか使わないかで状況が異なるので場合分けします。
①一の位が\(0\)のとき、残り4個から2個とる順列で、\({}_4\mathrm{P}_2\)\(=12\)
②一の位が\(0\)でないとき(一の位が\(2,4\)のとき)、百の位は一の位で使った数字と\(0\)以外の3通り、十の位は一と百の位で使った数字以外の3通りだから、\(2×3×3=18\)
①②より \(12+18=30\) となります。
①一の位が\(0\)のとき、残り4個から2個とる順列で、\({}_4\mathrm{P}_2\)\(=12\)
②一の位が\(0\)でないとき(一の位が\(2,4\)のとき)、百の位は一の位で使った数字と\(0\)以外の3通り、十の位は一と百の位で使った数字以外の3通りだから、\(2×3×3=18\)
①②より \(12+18=30\) となります。
(3)
9の倍数は、各桁の数の和が9の倍数になればよい。
9の倍数は、各桁の数の和が9の倍数になればよい。
このとき3個の数字の選び方は、\(2,3,4\)に限るので、
\({}_3\mathrm{P}_3=3!=3・2・1=\)\(6\)(個)
\({}_3\mathrm{P}_3=3!=3・2・1=\)\(6\)(個)
4の倍数のときは下2桁が4の倍数ですが、百の位で\(0\)を使えないので、下2桁で\(0\)を使うか使わないかで状況が異なるので場合分けします。
4の倍数は、下2桁が4の倍数になればよいので、書き上げると
\(04,12,20\)\(,24,32,40\) このうち\(0\)を含むものとそうでないものを分けて考えると(ア)下2桁が\(04,20,40\) のとき
百の位は、残りの数字3個から選ぶので、\(3×3=9\)個
(イ)下2桁が\(12,24,32\) のとき
\(0\)と、下2桁で使った2つの数字を除いた残り2通りとなるので
\(2×3=6\)個
\(04,12,20\)\(,24,32,40\) このうち\(0\)を含むものとそうでないものを分けて考えると(ア)下2桁が\(04,20,40\) のとき
百の位は、残りの数字3個から選ぶので、\(3×3=9\)個
(イ)下2桁が\(12,24,32\) のとき
\(0\)と、下2桁で使った2つの数字を除いた残り2通りとなるので
\(2×3=6\)個
(ア)、(イ)より \(9+6=\)\(15\)(個)
最後に倍数の判定方法をまとめておきます。(証明は整数の分野で扱います)
\(2\)の倍数 → 一の位が偶数
\(3\)の倍数 → 各位の数字の和が\(3\)の倍数
\(4\)の倍数 → 下2桁が\(4\)の倍数
\(5\)の倍数 → 一の位が\(0\)か\(5\)
\(6\)の倍数 → \(2\)の倍数 かつ \(3\)の倍数
\(8\)の倍数 → 下3桁が\(8\)の倍数
\(9\)の倍数 → 各位の数字の和が\(9\)の倍数
\(25\)の倍数 → 下2桁が\(25\)の倍数
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。