\({}_n\mathrm{C}_{r}\)を用いて、具体的に場合の数を求める問題を見ていきます。
(例題1)
男子7人、女子5人の合計12人のグループから5人を選ぶとき
(1)5人の選び方は全部で何通りあるか。
(2)男子3人、女子2人となる選び方は何通りあるか。
(3)5人の中に、特定の男子2人\(A,B\)と女子1人\(C\)を含む選び方は何通りあるか。
(解答)
(1)
12人から5人を選ぶ組合せだから
\({}_{12}\mathrm{C}_{5}\)\(=\displaystyle\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\)\(792\)(通り)
(2)
男子7人から3人を選ぶ組合せは \({}_{7}\mathrm{C}_{3}\)
女子5人から2人を選ぶ組合せは \({}_{5}\mathrm{C}_{2}\)
よって積の法則から
\({}_{7}\mathrm{C}_{3}×{}_{5}\mathrm{C}_{2}\)\(=\displaystyle\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}×\displaystyle\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=\)\(350\)(通り)
(3)
選ぶ5人の中に、すでに\(A,B,C\)の3人が選ばれているので、残り9人の中から、2人選べばよいので
\({}_{9}\mathrm{C}_{2}=\displaystyle\frac{9\cdot8}{2\cdot1}=\)\(36\)(通り)
(例題2)
1から14までの14個の自然数の中から、3個の異なる数字を取って組を作る。このとき、奇数だけからなる組は (ア)個 あり、3の倍数を少なくとも1個含む組は (イ) 個ある。
(解答)
(ア)
奇数は全部で7個あるので、この中から異なる3個の数字を選べばよい。
よって、\({}_{7}\mathrm{C}_{3}\)\(=\displaystyle\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=\)\(35\)(個)
(イ)
①3の倍数1つ ②3の倍数2つ ③3の倍数3つ
の3パターンに場合分けすることになるので、3の倍数を1個も含まない組を数えて全体から引く方針で解いてみます。
3個の数字に1つも3の倍数が含まれないようにする選び方は、3の倍数でない10個の数字から3個を選ぶので \({}_{10}\mathrm{C}_{3}\) (通り)
よって、求める個数は
\({}_{14}\mathrm{C}_{3}-{}_{10}\mathrm{C}_{3}\)\(=\displaystyle\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}-\displaystyle\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}\)
\(=364-120=\)\(244\)(個)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。